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Mathematische Physik » Klassische Feldtheorie & Quantenfeldtheorie » Functional Field Integral und Transformationsformel
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Kein bestimmter Bereich Functional Field Integral und Transformationsformel
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-21


Hi,

ich hatte gehofft, dass mir jemand bei einem Gleichheitszeichen auf die Sprünge helfen könnte.

Es geht um einen Rechenschritt im Buch von Peskin und Schroeder (Abschnitt 9.2, "Feynman Rules").

Für ein reelles skalares Feld $\phi(x)$ was führt man einen "Gitter-Abstand" $\epsilon$ ein und schreibt

$$ \mathcal{D} \phi = \prod_i \mathrm{d}\phi(x_i) \text{.}
$$
Dann folgt durch Entwicklung von $\phi$ als Fourierreihe

$$ \phi(x_i) = \frac{1}{V} \sum_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_n x_i} \phi(k_n)
$$
mit $k^{\mu}_n = 2 \pi n^{\mu}/L$ wobei $n^{\mu}$ ganzzahlig ist und die Wellenvektoren über die Summiert wird zusätzlich die Bedingung $| k^{\mu}| < \pi/\epsilon$ erfüllen, und das Volumen in dem $x$ Werte annimmt sei $V = L^4$.

Jetzt folgt, weil $\phi(x) \in \mathbb{R}$ gilt, dass $\phi^{*}(k) = \phi(-k)$ und es heißt im Buch

"We will consider the real and imaginary parts of the $\phi(k_n)$ with $k_n^{0} > 0$ as independent variables. The change of variables from the $\phi(x_i)$ to these new variables $\phi(k_n)$ is a unitary transformation, so we can write the integral as

$$ \mathcal{D}\phi(x) = \prod_{k_n^{0}> 0 } \mathrm{d} \operatorname{Re} \phi (k_n) \mathrm{d} \operatorname{Im}\phi(k_n) \text{."}
$$
Was mich so sehr verwirrt ist die Gleichheit von den "integral measures". (Als jemand der bei Manipulation von Integralen gerne auf die Transformationsformel guckt frage ich mich wie die zugrundeliegende unitäre Matrix $U$ aussieht, die die Integrationsvariablen ineinander überführt... Möglicherweise könnte man das mal für $d = 1$ verdeutlichen?)

Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.


Grüße
Skalhoef




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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-26


Hallo Skalhoef,

das $\phi\equiv\phi(k)$ ist ja komplexwertig. Man möchte also eine Integration über die komplexe Ebene so durchführen, dass man quasi gleichzeitig Real- und Imaginärteil über die ganze reelle Achse integriert. Das führt zum Maß $d\mathrm{Re}(\phi(k))d\mathrm{Im}(\phi(k))$. Das ist jetzt natürlich nur einmal eine Anschauung und kein Beweis. Der Beweis dazu folgt aus der Tatsache, dass der Übergang von $\phi(x)$ zu $\phi(k)$ eine Fourier-Transformation ist, und Fourier-Transformationen sind (mit richtiger Normierung) bekanntermaßen unitär.

Grüße,
PhysikRabe


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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-15


Hallo PhysikRabe,

vielen Dank für die Antwort.

Was mich an deiner (anschaulichen) Argumentation ein wenig stört ist, dass du nirgendwo auf die unterschiedlichen Dimensionen eingehst. (Ich verstehe also nicht die Details die einen von den reellen Integrationsvariablen auf die komplexen führen.)

Ich hatte mir das Ganze ungefähr so, wie auf dem Konzeptpapier vorgestellt. (Mit Nutzung der diskreten Fourier-Transformation, bei leichter Anpassung der Vorfaktoren-Konventionen an den Buchausschnitt.)





Falls die Transformation, die ich auf dem Konzeptpapier hingeschrieben habe zu der in der Fragestellung erwähnten Matrix

2020-02-21 06:34 - Skalhoef im Themenstart schreibt:
(...) (Als jemand der bei Manipulation von Integralen gerne auf die Transformationsformel guckt frage ich mich wie die zugrundeliegende unitäre Matrix $U$ aussieht, die die Integrationsvariablen ineinander überführt... Möglicherweise könnte man das mal für $d = 1$ verdeutlichen?)
(...)

korrespondiert, bin ich ein bisschen unsicher wie es um $\phi(k_0)$ steht... Wegen $\phi^{*}(k) = \phi(-k)$ hat man ja

$$ \phi(x_l) = \frac{1}{N \epsilon} \left[ \phi(k_0) + \sum_{j = 1}^{(N - 1)/2} \left( \mathrm{e}^{- \mathrm{i} k_j x_l} \phi(k_j) + \text{c.c.} \right) \right]
$$
und man kann die Matrix $U$ aus dem Themenstart (mit ein bisschen Aufwand) hinschreiben.

Es bleibt für mich noch zu klären:
1. Ist die Matrix U jetzt immer noch unitär?***
2. Wieso wird im Peskin $\mathrm{d}\phi(k_0)$ (als *reelle* Integrationsvariable) weggelassen? Ist das ein Tippfehler oder habe ich einen Denkfehler?


Grüße
Skalhoef

P.S.: Zu ***: Ich glaube diese Frage ist ganz nah verwandt zu einem anderen Thread von mir (dem hier). Ich bin mir aber (gerade) nicht ganz sicher und kann die Vermutung nicht ganz in Formeln sinnvoll aufschreiben.



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