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Analysis » Funktionalanalysis » Voraussetzungen für den Satz von der majorisierten Konvergenz
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Autor
Universität/Hochschule J Voraussetzungen für den Satz von der majorisierten Konvergenz
vava123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,} \newcommand{\im}{\mathrm{im}\,} \newcommand{\ker}{\mathrm{ker}\,} \)
Hallo,
 
in einem Lösungsvorschlag zu einer Aufgabe kann ich eine Schritt nicht wirklich nachvollziehen. Die Situation ist folgende:
 
Es ist $0<p\leq 1$, $f \in \mathcal{L}^1$ und $(f_n)_n$ eine Folge in $\mathcal{L}^1$, die $\mu$-f.ü. gegen $f$ konvergiert. Weiterhin ist $\operatorname{sup}_{n \in \mathbb{N}} \int |f_n|^p \mathrm{d}\mu < \infty$.
 
In der Lösung wird nun behauptet:
 
"Definiere $g_n = ||f_n|^p − |f − f_n|^p − |f|^p|$. Dann gilt $g_n≤2|f−f_n|^p, \forall n \in \mathbb{N}$. Da $f,f_ n \in \mathcal{L}^1$ ist die rechte Seite nach der Minkowski-Ugl (?!) und der Existenz des Supremums für jedes $n∈N$ eine integrierbare Majorante. Aus $g_n\to 0$ $\mu$-f.ü. folgt direkt: $\int g_n \mathrm{d}\mu \to 0$."
 
Leider sehe ich weder wie die Minkowski-Ugl anzuwenden ist noch wo ich die Existenz des Supremums verwenden kann, um einzusehen, dass ich für jedes n eine integrierbare Majorante habe.
Das "folgt direkt" würde ich als "folgt mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz" interpretieren. Aber dann bräuchte ich doch *eine* integrierbare Funktion benötigen, die alle Folgenglieder majorisiert?
 
Vielleicht findet sich ja jemand, der dem Ganze mehr Sinn entnehmen kann als ich.

Viele Grüße
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-22


Hey vava123,

ich werde aus dem zitierten Abschnitt auch nicht schlau. Wie lautet denn die ursprüngliche Aufgabe und wie die komplette Musterlösung?



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vava123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,} \newcommand{\im}{\mathrm{im}\,} \newcommand{\ker}{\mathrm{ker}\,} \)
Unter den genannten Voraussetzungen ist zu zeigen, dass $\lim_{n \to \infty} \int||f_n|^p − |f − f_n|^p − |f|^p| \mathrm{d} \mu = 0$.
Das was ich zitiert habe ist dann auch schon die ganze Lösung.

So wie ich die Aufgabe verstehe ist für den Term $g_n = ||f_n|^p − |f − f_n|^p − |f|^p|$ eine integrierbare Majorante zu finden, um den Satz von der majorisierten Konvergenz anzuwenden. (Bzw. das war mein Ansatz und wenn ich mich nicht täusche auch der der Musterlösung)
Weil für $a,b \in \mathbb{C}$ und $p\in (0,1]$ stets $||a|^p-|b|^p|\leq |a-b|^p$ gilt könnte ich den Integrand $g_n$ für alle $n$ durch $2 |f|^p $ abschätzen. Das bringt mir aber leider nicht so viel, weil ich ja nichts über die Integrierbarkeit von $|f|^p$ weiß. Außerdem sehe ich noch nicht, wie ich die Voraussetzung mit dem Supremum einbauen soll.
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-22


Okay, ich habe nicht gesehen, dass man \(g_n\) auch durch \(2|f|^p\) abschätzen kann.
Wende mal das Lemma von Fatou an. Da geht dann auch die Voraussetzung ein.



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vava123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\dim}{\mathrm{dim}\,} \newcommand{\im}{\mathrm{im}\,} \newcommand{\ker}{\mathrm{ker}\,} \)
Ah, du meinst also:
$ \int |f|^p \mathrm{d} \mu = \int \liminf_{n\rightarrow\infty} |f_n|^p \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int |f_n|^p \ \mathrm{d}\mu \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} \int |f_n|^p \mathrm{d} \mu < \infty$. Mit Fatou und $\inf_{k\geq n}\int |f_k|^p \mathrm{d} \mu \leq \sup_{m \in \mathbb{N}} \int |f_m|^p \mathrm{d} \mu$ für alle $n$.
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-22


Ja, genau. Daraus folgt dann ja die Integrierbarkeit von \(|f|^p\)



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vava123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-22


Wunderbar. Danke für deine Hilfe!



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