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Lineare Algebra » Vektorräume » Existenz einer Basis eines endlich erzeugten Vektorraums
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Universität/Hochschule J Existenz einer Basis eines endlich erzeugten Vektorraums
Silenus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-24


Hallo,

in "Lineare Algebra" von Kowalsky und Michler wird relativ am Anfang gezeigt:
fed-Code einblenden
Meine Frage ist, ob damit nicht schon gezeigt wurde, dass jeder endlich erzeugte (Unter-)Vektorraum eine endliche Basis besitzt, da er ja ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Erst etwas später nämlich wird unter Berufung auf weitere Hilfssätze genau dies gezeigt:
fed-Code einblenden
Dass U ebenfalls endlich erzeugt ist, folgt ja auch ohne Umschweife aus dem ersten Satz.

Danke im Voraus,
Silenus



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-24


Hallo,

ich kann dir nicht ganz folgen. Wieso genau ist $U$ jetzt endlich erzeugt?


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Silenus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Wenn V endlich erzeugt ist, d.h. sich alle v in V als Linearkombination von Elementen des endlichen Erzeugendensystems darstellen lassen, dann lassen sich ja auch alle u in U als Linearkombination dieses endlichen Erzeugendensystems darstellen, weil U Teilmenge von V ist.
Aber stimmt, dabei beziehe ich mich gar nicht auf den ersten Satz, das hier stimmt also nicht:
(2020-02-24 00:31 - Silenus im <a
folgt ja auch ohne Umschweife aus dem ersten Satz.

EDIT: Das stimmt so leider nicht, denn wenn sich alle u in U als Linearkombination der Elemente aus dem Erzeugendensystem von V darstellen lassen, heißt das nicht, dass dieses Erzeugendensystem U erzeugt.
Was aber dennoch schon mit dem ersten Satz gezeigt sein müsste, ist doch, dass V, also jeder endlich erzeugte Vektorraum, eine Basis besitzt, oder?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-24


2020-02-24 01:18 - Silenus in Beitrag No. 2 schreibt:
EDIT: Das stimmt so leider nicht, denn wenn sich alle u in U als Linearkombination der Elemente aus dem Erzeugendensystem von V darstellen lassen, heißt das nicht, dass dieses Erzeugendensystem U erzeugt.
Genau. Es ist nicht klar, dass dieses Erzeugendensystem nur Vektoren aus $U$ enthält.


Was aber dennoch schon mit dem ersten Satz gezeigt sein müsste, ist doch, dass V, also jeder endlich erzeugte Vektorraum, eine Basis besitzt, oder?
Ja.



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Silenus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-25


Danke!



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