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Strukturen und Algebra » Ringe » Ist das Nullelement 0_R in einem Integritätsbereich reduzibel?
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Universität/Hochschule Ist das Nullelement 0_R in einem Integritätsbereich reduzibel?
dome1504
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-25


Hallo,

als Übungsaufgabe sollten wir beweisen, dass ein Element p in einem Integritätsbereich R genau dann irreduzibel ist, wenn aus p in (a) folgt, dass (p)=(a) oder (a)=R, wobei scheinbar a ein beliebiges Element aus R ist. Mit (a) wird das Ideal von a gemeint. Ich habe das versucht indirekt zu zeigen, d.h. wenn p nicht irreduzibel ist existiert ein a aus R mit p in (a), aber (p) != (a) und (a) != R. Das hat auch geklappt, allerdings hat sich mir die Frage gestellt, wie es denn mit dem Nullelement 0_R aussieht. Nach Definition ist ein Element p eines Integritätsbereichs R irreduzibel, wenn es keine Einheit oder das Nullelement ist und aus einer Darstellung p=a*b folgt, dass a oder b Einheiten sind. Demnach müsste ja 0_R reduzibel sein. Ist unser Integritätsbereich R ein Körper, sind alle ELemente außer 0 Einheiten. Für a=p=0_R würde p in (a) und (p)=(a) folgen, für jedes andere a, was dann eine Einheit ist, würde (a)=R gelten, d.h. die obige Aussage stimmt, obwohl 0_R reduzibel ist. Ist also 0_R nicht reduzibel, muss die Behauptung auf nicht-null Elemente eingeschränkt werden oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

Liebe Grüße
Dome  



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-25


Ja, für das Nullideal (0) gilt hier tatsächlich eine Ausnahme. Es ist z.B. in $\mathbb Z$ ein Primideal, obwohl 0 reduzibel ist.



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dome1504
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.12.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-25


Danke!



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ligning
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Mitteilungen: 2990
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-25


Die Behauptung stimmt auch für Einheiten nicht. Vielleicht fehlt da der gleiche Vorspann, der bei der Definition für irreduzibel steht: Sei $p$ nicht Null und keine Einheit...


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