Die Mathe-Redaktion - 28.03.2020 21:16 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 435 Gäste und 20 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » Ableitung berechnen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Ableitung berechnen
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-26


Moin!

ich habe Probleme folgende Identität zu sehen:

$$ \frac{e^{-\lvert x-y\rvert^2/4(t-s)}}{\sqrt{4\pi(t-s)}}-\frac{e^{-\lvert x-y\rvert^2/4(t'-s)}}{\sqrt{4\pi(t'-s)}}=\int_t^{t'}\frac{h(z)}{(4\pi(\tau-s))^{3/2}}\, d\tau,\quad z=\frac{x-y}{\sqrt{\tau-s}}
$$
wobei
$$ h(z)=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lvert z\rvert^2}{4}\right)e^{-\lvert z\rvert^2}
$$

Ich muss doch eigentlich nur zeigen, dass
$$ \frac{d}{d\tau}\left(\frac{e^{-\lvert x-y\rvert^2/4(\tau-s)}}{\sqrt{4\pi(\tau-s)}}\right)=\frac{h(z)}{(4\pi(\tau-s))^{3/2}},
$$
aber das bekomme ich nicht hin.

Ich bekomme
$$ \frac{d}{d\tau}\left(\frac{e^{-\lvert x-y\rvert^2/4(\tau-s)}}{\sqrt{4\pi(\tau-s)}}\right)=\frac{e^{-\lvert x-y\rvert^2/4(\tau-s)}(\lvert x-y\rvert^2-2(\tau-s))}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{5/2}}
$$



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2144
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-26


Hallo kaotisch,
bei entsprechenden Substitutionen mag das ungefähr hinkommen, was in der Aufgabenstellung angegeben wird. Man sieht aber auch auf den ersten Blick, dass es SO nicht ganz genau passt. Es soll nämlich
$$z=\frac{x-y}{\sqrt{\tau-s}}$$sein, aber links steht in der Aufgabenstellung im Exponenten
$$-\frac{\lvert x-y\rvert^2}{4(t-s)}$$Man beachte die 4 im Nenner! Laut zweiter Zeile soll aber gelten:
$$h(z)=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lvert z\rvert^2}{4}\right)e^{-\lvert z\rvert^2}$$Hier fehlt die 4 im Exponenten, und deswegen kann es so sicher nicht stimmen. Ich frage mich aber, ob das nicht ein Flüchtigkeits- oder Tippfehler deinerseits ist. Bitte überprüfe daher noch einmal >>akribisch<<, Buchstabe für Buchstabe, ob Du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast, bevor wir hier Zeit investieren. In der dritten Formelzeile fehlt Dir außerdem ein Minuszeichen vor dem Ganzen, wenn Du die Reihenfolge der Integrationsgrenzen betrachtest.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Musikant88
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.11.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-26


Stimmt, das war mi rauch aufgefallen!
Die Substitution sollte her mit 2 im Nenner sein.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-26


Hallo, MontyPythagoras!

Danke für deine Antwort.
Ich habe das wörtlich übernommen aus
hier, Seite 57, wobei ich n=1 gewählt habe.


Mir kam das mit der fehlenden 4 ebenfalls merkwürdig vor.
Ich habe es daher mit der Subtitution <math>z=(x-y)/(2\sqrt{\tau-s})</math> probiert, dann bekomme ich allerdings für die rechte Seite
<math>\displaystyle
\int_t^{t"}\frac{h(z)}{4\sqrt{\pi}(\tau-s)^{-3/2}}\, d\tau,\quad z=\frac{x-y}{2\sqrt{\tau-s}}
</math>
mit der Funktion
<math>\displaystyle
h(z)=(2\lvert z\rvert^2-1)e^{-\lvert z\rvert^2}.
</math>

Grüße



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2144
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-26


Hallo kaotisch,
so wie es dort im Buch steht, ist es definitiv falsch. Auch der Faktor $4\pi$, der ja eine Konstante darstellt, stimmt im Buch überhaupt nicht. Links steht $(4\pi)^{-\frac n2}$, rechts ist der Exponent um 1 erhöht, und in $h(z)$ taucht kein $4\pi$ im Nenner auf. Das passt alles nicht zusammen.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-26


Hi,

das beruhigt mich, denn ich habe schon an mir gezweifelt.

Wenn ich bei der Substituierung <math>z=(x-y)/(\sqrt{\tau-s})</math> bleibe, so müsste es nach meinen Rechnungen stattdessen sein für die rechte Seite:

<math>\displaystyle
\int_t^{t?}\frac{h(z)}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{3/2}}\, d\tau
</math>
mit der Funktion
<math>\displaystyle
h(z)=(\lvert z\rvert^2-2)e^{-\lvert z\rvert^2/4}
</math>

Ist das korrekt?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


Kann ich hieran vllt noch eine Frage anschließen?

Angenommen, ich hab nun also die Identität, die ich ausgerechnet habe.

Wie kann ich dann das Integral
$\displaystyle
I(x,t,t'):=\int_0^t\int_\mathbb{R}\int_t^{t'}\frac{h(z)}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{3/2}}\, d\tau g(y,s)\, dy\, ds
$
ausrechnen oder abschätzen? Wenn ich das so wie im Skript mache, bekomme ich wegen $dy=-\sqrt{\tau-s}\, dz$ die Abschätzung
$\displaystyle
\begin{align*}
I(x,t,t')&\leq-\lVert g\rVert_\infty \int_0^t\int_\mathbb{R}\left(\int_t^{t'}\frac{h(z)}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{3/2}}\, d\tau\right)\, dy\, ds\\
&=C\int_0^t\int_\mathbb{R}\int_t^{t'}\frac{h(z)}{\tau-s}\, d\tau\, dz\, ds\\
&=C\int_0^t\int_\mathbb{R}h(z)\int_t^{t'}\frac{d\tau}{\tau-s}\, dz\, ds\\
&=C\int_0^t\int_\mathbb{R}h(z)\log\left(\frac{t'-s}{t-s}\right)\, dz\, ds\\
&=C\int_0^t\log\left(\frac{t'-s}{t-s}\right)\int_\mathbb{R}h(z)\, dz\, ds
\end{align*},
$
wobei ich $C:=\lVert g\rVert_\infty/(8\sqrt{\pi})$ gesetzt habe.

Im Skript ist, wie gesagt, $h(z)=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\lvert z\rvert^2}{4}\right)e^{-\lvert z\rvert^2}$, was nicht stimmt, und hierfür ergibt sich
$\displaystyle
\int_\mathbb{R}h(z)\, dz=-\frac{3}{8}\sqrt{\pi},
$
sodass man das einfach vors Integral ziehen kann und die dortige Abschätzung für $\lvert I(x,t,t')\rvert$ bekommt.

Für mein ausgerechnetes
$\displaystyle
h(z)=(\lvert z\rvert^2-2)e^{-\lvert z\rvert^2/4}
$
gilt aber
$\displaystyle
\int_\mathbb{R}h(z)\, dz=0,
$
sodass ich $\lvert I(x,t,t')\rvert\leq 0$ bekomme, also $I(x,t,t')=0$. Das kann doch nicht richtig sein.

🤔




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2144
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-27


Hallo kaotisch,
2020-02-27 09:55 - kaotisch in Beitrag No. 6 schreibt:
Wie kann ich dann das Integral
$\displaystyle
I(x,t,t'):=\int_0^t\int_\mathbb{R}\int_t^{t'}\frac{h(z)}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{3/2}}\, d\tau g(y,s)\, dy\, ds
$
ausrechnen oder abschätzen? Wenn ich das so wie im Skript mache, bekomme ich wegen $dy=-\sqrt{\tau-s}\, dz$ die Abschätzung
$$ I(x,t,t')\leq-\lVert g\rVert_\infty \int_0^t\int_\mathbb{R}\left(\int_t^{t'}\frac{h(z)}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{3/2}}\, d\tau\right)\, dy\, ds
$$
Nein, das funktioniert nicht. $\tau$ ist nur die Integrationsvariable des innersten Integrals. Du kannst dann nicht $dy=-\sqrt{\tau-s}\, dz$ substituieren und da die Integrationsvariable $\tau$ reinbasteln, die im Kontext dieses äußeren Integrals gar nicht existiert. In die Substitution könntest Du höchstens $t$ oder $t'$ setzen, aber dann könntest Du den Integranden nicht in der von Dir gezeigten Form vereinfachen.

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


Hallo,

aber wie meint der das denn dann mit „change the variables y->z and integrate z out“?

Ich finde das unerklärlich.

Ich bin absolut verwirrt.

Edit:
Kann ich vllt einfach die beiden innersten Integrale vertauschen mit Fubini/ Tonelli?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2144
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-27


Hallo kaotisch,
das innere Integral kennst Du doch. Entsprechende kleinere Korrekturen vorausgesetzt, steht es gleich in Deinem Threadstart auf der linken Seite der ersten Gleichung.
Die ganze Substitution mit z ist überflüssig wie ein Kropf, es verwirrt nur. Ich hätte das $|x-y|$ durchgängig beibehalten. So viel Schreibaufwand ist das ja nun auch nicht. Sehr schlechte Didaktik, vergiss den Scheiß mit dem z. Das heißt:
Das innerste Integral kannst Du direkt berechnen.
Ob man die Maximumsnorm von g einfach so rausziehen kann, hängt vielleicht von t und t' ab. Finde ich gewagt, kann aber durchaus sein. Dazu müsste man jetzt wahrscheinlich das ganze Buchkapitel durchlesen. Wenn Du die Norm von g rausgezogen hast, ist das mittlere Integral etwas von der Art $\int e^{-y^2} dy$ über ganz $\mathbb R$, das lässt sich mit der Error Function auch berechnen, und für das äußere Integral bleibt dann nur noch so etwas wie $\int (t-s)^{-\frac n2}ds$, und auch das geht. Sieht machbar aus, aber für eine exakte Berechnung ist es zu spät und ich hatte zu viel Wein, als dass ich ein korrektes Ergebnis garantieren könnte. 😉

Ciao,

Thomas



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-28


Hallo, MontyPythagoras!

Ok, ich denke, ich verstehe, was du meinst. Sicher kann man das Ganze auch direkt machen. Trotzdem würde ich gerne noch versuchen zu klären, ob und wie der Zugang in dem Skript korrekt ist.

Nochmal konkreter:

Meine Rechnung war folgende (ich nenne mein $h(z)$ jetzt mal $\rho(z)$ um es von dem falschen $h(z)$ aus dem verlinkten Skript zu unterscheiden):

$$ \begin{align}
\lvert I(x,t,t')\rvert&\leq\lVert g\rVert_\infty \int_0^t\int_\mathbb{R}\left(\int_t^{t'}\frac{\lvert \rho(z)\rvert}{8\sqrt{\pi}(\tau-s))^{3/2}}\, d\tau\right)\, dy\, ds\\
&=\frac{\lVert g\rVert_\infty}{8\sqrt{\pi}}\int_0^t\int_\mathbb{R}\int_t^{t'}\frac{\lvert \rho(z)\rvert}{\tau-s}\, d\tau\, dz\, ds\\
&=\frac{\lVert g\rVert_\infty}{8\sqrt{\pi}}\int_0^t\int_\mathbb{R}\lvert \rho(z)\rvert\int_t^{t'}\frac{d\tau}{\tau-s}\, dz\, ds\\
&=\frac{\lVert g\rVert_\infty}{8\sqrt{\pi}} \int_0^t\int_\mathbb{R}\lvert \rho(z)\rvert\log\left(\frac{t'-s}{t-s}\right)\, dz\, ds\\
&=\frac{\lVert g\rVert_\infty}{8\sqrt{\pi}}\int_0^t\log\left(\frac{t'-s}{t-s}\right)\int_\mathbb{R}\lvert \rho(z)\rvert\, dz\, ds
\end{align}
$$ Da $\rho(z)=(\lvert z\rvert^2-2)e^{-\lvert z\rvert^2/4}$ integrierbar ist, d.h. $\int_\mathbb{R}\lvert\rho(z)\rvert\, dz<\infty$, bekomme ich tatsächlich
$$ \lvert I(x,t,t')\rvert\leq C\lVert g\rVert_\infty\int_0^t\log\left(\frac{t'-s}{t-s}\right)\, ds,
$$ für eine Konstante $C$.

Das Problem war nun der Übergang von (1) zu (2), da habe ich einfach $dy=\sqrt{\tau-s}\, dz$ eingesetzt. Das ist aber nicht möglich, da die Variable $\tau$ nur in dem innersten Integral "lebt".

Meine Frage ist, ob man das Argument retten kann, indem man die beiden innersten Integrale "vertauscht" (Begründung: Fubini-Tonelli), also ob

$$ \int_0^t\int_\mathbb{R}\int_t^{t'}\frac{\lvert \rho(z)\rvert}{8\sqrt{\pi}(\tau-s))^{3/2}}\, d\tau\, dy\, ds=\int_0^t\int_t^{t'}\int_\mathbb{R}\frac{\lvert\rho(z)\rvert}{8\sqrt{\pi}(\tau-s)^{3/2}}\, dy\, d\tau\, ds
$$
stimmt. Falls ja, sollte es nun in Ordnung sein, im Integral auf der rechten Seite die Substitution $dy=\sqrt{\tau-s}\, dz$ vorzunehmen.


Viele Grüße und sorry, dass ich so penetrant bin. 🙄



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1551
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-02-28


Huhu kaotisch,

was sind denn \(\tau, z\) und \(s\)? Reelle Zahlen? Dann müsste ja auch sowas wie \(\tau >s\) gelten?! Dann ist dein Integrand aber sicherlich nicht negativ; im Zähler steht ein Betrag und im Nenner eine Wurzel. Da greift ja nun einfach Tonelli.

Gruß,

Küstenkind



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 949
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-28


Hi, Kuestenkind,

danke für deine Antwort.

<math>\tau, z, t</math> sind tatsächlich reelle Zahlen.

Das Integral bzgl. <math>s</math> geht von <math>0</math> bis <math>t</math>
 
Das Integral bzgl. <math>\tau</math> geht von <math>t</math> bis <math>t">t</math>.

Demnach müsste tatsächlich <math>\sqrt{\tau-s}</math> eigentlich positiv sein (bis auf die Nullmengen, d.h. wenn <math>\tau=s</math> ist), aber das dürfte keine Rolle spielen.







  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1551
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-02-28


2020-02-28 17:03 - kaotisch in Beitrag No. 12 schreibt:
Demnach müsste tatsächlich <math>\sqrt{\tau-s}</math> eigentlich positiv sein

Das verstehe ich nicht wirklich. Eine Wurzel aus einer (positiven) reellen Zahl ist immer positiv?!

2020-02-28 17:03 - kaotisch in Beitrag No. 12 schreibt:
(bis auf die Nullmengen, d.h. wenn <math>\tau=s</math> ist), aber das dürfte keine Rolle spielen.

In diesem Fall ist dein Integrand erstmal überhaupt nicht definiert, da man durch Null dividieren würde.

Gruß,

Küstenkind



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kaotisch hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
kaotisch hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]