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Strukturen und Algebra » Ringe » Diskriminanten mit ganzen Basen bilden Hauptideal
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Universität/Hochschule J Diskriminanten mit ganzen Basen bilden Hauptideal
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-26


Hi,

ein Grund Diskriminanten von Körpererweiterungen zu studieren, ist die Charakterisierung von verzweigten Primidealen. Die vielleicht erste Bemerkung sollte Folgende sein, die ich allerdings nicht ganz verstehe.

Sei $\mathcal{O}$ ein Dedekindring und $K = \operatorname{Quot}(\mathcal{O})$. Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung und $\mathcal{O}_L$ der Ganzheitsring von $\mathcal{O}$ in $L$, sodass es eine ganze Basis $x_1, \dots, x_n$ von $\mathcal{O}_L$ über $\mathcal{O}$ existiert.
Sei $y_1, \dots, y_n \in \mathcal{O}_L$ eine weitere $K$-Basis von $L$. Dann gilt $$ d(y_1, \dots, y_n) \in d(x_1, \dots, x_n) \mathcal{O}.$$
Wie sieht man das? Übersehe ich irgendeine schöne Eigenschaft von Diskriminanten, die das direkt liefert?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-27


Ich gehe davon aus, dass die $y_i$ auch Ganzheitsbasis von $O_L$ sind. Dann hat die Basistransformationsmatrix von $(x_i)$ und $(y_i)$ $O_K$-Koefficienten und diese Matrix ist invertierbar... (wenn ich mich richtig erinnere, ist die Determinante dieser Matrix ein Quadrat einer Einheit)



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


Das ist ein schönes Argument, danke!

Weißt du aber, wie man das fixen kann, wenn die $y_1, \dots, y_n$ keine Ganzheitsbasis sind, sondern bloß eine $K$-Vektorraumbasis? Soweit ich verstehe, ist es nämlich so in meinen Vorlesungsnotizen gemeint.


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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-27


Sorry, in meinem Argument genügt es schon, dass die $y_i$ in $O_L$ liegen: Jedes $y_i$ ist eine $O$-Linearkombination von den $x_i$. Sei $M$ die zugehörige Darstellungsmatrix (nach dem Gesagten hat sie $O$-Koeffizienten), dann gilt $d(y_1,\ldots,y_n)=\det(M)^2d(x_1,\ldots,x_n)$.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


Ohh, ja, du hast recht. Da hätte ich einfach besser aufpassen sollen. Danke dir!


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