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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte von nilpotenten Endomorphismen im unendlich-dimensionalen Raum
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Autor
Universität/Hochschule Eigenwerte von nilpotenten Endomorphismen im unendlich-dimensionalen Raum
Zerakiin
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-26


Hallo,

Ich bin gerade dabei mich auf meine mündliche Klausur vorzubereiten und bin dabei auf folgende Frage gestoßen:

Haben nilpotente Endomorphismen im unendlich-dimensionalen nur den Eigenwert 0?
Im zugehörigen Protokoll wurde hierzu geschrieben, dass der Beweis hierzu
kurz skizziert wurde, ohne konkret zu erwähnen wie.

Nun komme ich leider nicht darauf, wie man dies zeigen könnte.


Überlegt hatte ich mir das folgendermaßen:

fed-Code einblenden

Nun bin ich mir aber schon ab dem Punkt mit der Zeilenstufenform nicht sicher.
Stimmt das denn überhaupt? Falls ja: geht das evtl noch schöner? Falls nein: Wie ginge es denn sonst?



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 807
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Zerakiin,

das Problem an deinem Vorgehen ist, dass du die Existenz einer Abbildungsmatrix voraussetzt, bei der man von Zeilenstufenform reden kann. Dafür müssen die Zeilen aber durchnummeriert werden, was eine abzählbare Basis voraussetzt. Die hat ein unendlichdimensionaler Vektorraum im Allgemeinen aber nicht. Nur wenn er separabel ist, und auch dann muss man noch mit dem Basisbegriff aufpassen, der ja einer Darstellungsmatrix zugrundeliegt.
Viel unproblematischer ist ein indirekter Beweis: Nimm an, $v$ sein ein Eigenvektor zu einem Eigenwert ungleich 0. Versuche daraus zu folgern, dass der zugehörige Endomorphismus nicht nilpotent sein kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1723
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

das mit der Zeilenstufenform ist denke ich bereits falsch (zumindest verstehe ich nicht, was du meinst), spätestens ab der Determinante wird das ganze dann aber unsinnig: Was verstehst du überhaupt unter der Determinante eines Endomorphismus eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes?

Eigentlich ist die Aufgabe aber ganz leicht, wenn man mit der Definition arbeitet: Sei $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ und $v$ ein zugehöriger Eigenvektor. Jetzt benutze die Nilpotenz um $\lambda = 0$ zu folgern.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Zerakiin
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.12.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-26


Ok, sei f ein nilpotenter Endormorphismus mit Nilpotenzindex n und v ein Eigenvektor zu einem Eigenwert a ungleich 0.

Dann gilt f(v)=a*v und f(f(v))=f^2(v)=(a^2)*v. Weiter gilt folglich 0=f^n(v)=(a^n)*v. Da aber der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist, muss a^n=0, also a=0 folgen. Somit hat f nur den Eigenwert 0.

Passt das so?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1723
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-26


Ja, passt so.



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