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Mathematik » Stochastik und Statistik » bedingte Erwartungswerte
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Universität/Hochschule bedingte Erwartungswerte
Felix7991
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.02.2020
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-27


Hallo zusammen,

eine Frage habe ich. Sei \(X=(X_1,...,X_n)\), wobei \(X_1,...,X_n\) zentrierte normalverteilte und unabhängige Zufallsvariablen sind und \( S=\sum_{k=1}^{n}X_k \). Gilt dann \[ \mathbb{E}[X\mid S=0]=0_n ?\] (die \(0_n\) ist die 0 im n-dimensionalen.)
Wäre super falls da einer eine Erklärung zu hat.

Viele Grüße
Felix



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3495
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-29


Hallo Felix7991,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet!

Wenn man <math>\displaystyle \mathbb{E}[X_1 \mid S=0]=\mathbb{E}[X_2 \mid S=0] = ... = \mathbb{E}[X_n \mid S=0]</math> annimmt, würde sich ja <math>\displaystyle \mathbb{E}[X_i \mid S=0]=0, i=1...n</math> ergeben. Doch für diese Überlegung ist die Voraussetzung unabhängiger Zufallsvariablen nicht ausreichend, siehe dieses Beispiel. Danach könnte ja bei \(S=0\) ständig \(X_1=1, X_2=-1, X_3=X_4=...=X_n=0\) sein und weil dieses Ereignis nur mit Wahrscheinlichkeit 0 auftritt, steht das nicht im Widerspruch zur Unabhängigkeit der Zufallsvariablen.

Viele Grüße,
  Stefan
 



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Gelamos
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 15.07.2005
Mitteilungen: 583
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-04 18:38


 Hallo Felix,

  da die $X_i$ normalverteilt sein sollen, ist $(X_i,S)$ multivariat normalverteilt. Die $X_i$ sind zentriert, also $E(X_i)=0$ und $E(S)=0$. Hieraus folgt dann: $E(X_i|S=0)=0$ für jedes $i$.

      Schöne Grüße, Gelamos.



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5611
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-04 21:26


Hallo Gelamos,

2020-03-04 18:38 - Gelamos in Beitrag No. 2 schreibt:
  Hallo Felix,

  da die $X_i$ normalverteilt sein sollen, ist $(X_i,S)$ multivariat normalverteilt. Die $X_i$ sind zentriert, also $E(X_i)=0$ und $E(S)=0$. Hieraus folgt dann: $E(X_i|S=0)=0$ für jedes $i$.

Ganz kann ich dem nicht folgen; woraus aus dem Hieraus folgt das denn? Ich fand die Argumentation von StefanVogel eigentlich recht überzeugend, dass die Aussage nicht richtig ist.

Seien \(Y_1,Y_2\sim{\cal N}(0,1)\) unabhängig. Definiere dann \((X_1,X_2)=(Y_1,Y_2)\), falls \(Y_1+Y_2\neq0\) und sonst \((X_1,X_2)=(1,-1)\). Dann sind \(X_1,X_2\) ebenfalls unabhängig und \({\cal N}(0,1)\)-verteilt, aber \(E(X_1|X_1+X_2=0)=1\). Oder?



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AnnaKath
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3266
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-04 22:15


Huhu zusammen,

alle haben m.E.n. in gewisser Weise recht.
Stefans Beispiel und Aussage ist korrekt, Gelamos hat aber auch durchaus recht.

Das "Problem" liegt darin, dass eine bedingte Verteilung (wenn sie existiert) nur f.s. eindeutig ist, d.h. die von Gelamos angegebene bedingte Verteilung ist nur eine Version aller möglichen bedingten Verteilungen.

Wenn die $X_i$ gegeben sind (so verstehe ich die Formulierung), so stimme ich Stefan (und Strg...) zu, im Allgemeinen Sprachgebrauch der Stochastiker (und wenn die $X_i$ also nur im Sinne ihrer Verteilung bekannt sind) Gelamos.

Zusammengefasst: Es gilt $\mathbb{P}(E[X | S = 0] = 0) = 1$.

Falls das also hilft...

lg, AK.



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5611
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-05 00:08


Hallo AnnaKath,

2020-03-04 22:15 - AnnaKath in Beitrag No. 4 schreibt:
alle haben m.E.n. in gewisser Weise recht.

Hm, wenn sowohl eine Aussage als auch das Gegenteil dieser Aussage in gewisser Weise zutreffen, dann stimmt - wie ich finde - irgend etwas mit der Theorie nicht ☹

Ich habe deine Ausführung aber wohl noch nicht ganz verstanden. Insbesondere auch das nicht:

2020-03-04 22:15 - AnnaKath in Beitrag No. 4 schreibt:
$\mathbb{P}(E[X | S = 0] = 0) = 1$.

Grüße
StrgAltEntf



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AnnaKath
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Mitteilungen: 3266
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-05 11:02


Huhu StrgAltEntf,

was ich meine ich das folgende:

Die bedingte Erwartung Zufallsvariable $E[X|S]$ ist nicht eindeutig. Hat man allerdings zwei bedingte Erwatungen $Z_1$ und $Z_2$, also Zufallsvariablen, für die gilt $E[1_A Z_j] = E[1_A X]$ für alle $A\in\sigma(S)$, so ist $\mathbb{P}[Z_1 = Z_2] = 1$.

Was bedeutet nun die Faktorisierung einer bedingten Erwartung? Ist $E[X|S]$ eine bedingte Erwartung, so existiert ein messbares $f$ mit $E[X|S] = f \circ S$ und man setzt $E[X|S=s]=f(s)$. Nur in diesem Sinne ist der Ausdruck $E[X|S=0]$ zu verstehen. Es hängt also von der Wahl (einer Version) der bedingten Erwartung ab, wie das jeweilige $f$ konkret aussieht und welchen Wert $E[X|S=0]$ annimmt. Insofern hat Stefan in Beitrag #1 recht und man kann nicht $E[X|S=0]=0$ aus den Daten der Aufgabe schliessen. Die Zufallsvariable $E[X|S]$ kann man auf jeder Nullmenge beliebig abändern, und $\{S=0\}$ ist natürlich unter den gegebenen Daten eine solche.

Was ich nun mit der (wohl nicht formal korrekten) letzen Aussage meine ist, dass es zu jeder Wahl der bedingten Erwartung eine Version (also eine f.s. gleiche Zufallsvariable) gibt, die eine Faktorisierung in $S=0$ erlaubt, so dass $E[X|S=0] = 0$ gilt.

Inwiefern ich Gelamos also ein bisschen beipflichten wollte:
Jede Version einer bedingten Verteilung $Q(A) = P[X\in A | S=0]$ ist derart, dass $Q([-\epsilon, \epsilon]^n) < c\epsilon^n$ mit einem konstanten $c$.
Natürlich kann man daraus nicht schliessen, dass $E[X|S=0]=0$ ist. Man kann aber nur auf der Nullmenge $\{S=0\}$ "Unsinn" treiben und dort irgendeinen Wert für $E[X|S=0]$ "erzeugen", nicht jedoch die Verteilung von $E[X|S]$ so ändern, dass sie sich in irgendeiner (stochastischen) Weise von derjenigen unterscheidet, welche eine andere Version der bedingten Erwartung mit $E[X|S=0]=0$ erzeugt.

lg, AK.



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Gelamos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-06 14:40


 Hallo StrgAltEntf,

  okay, bedingte Erwartungswerte sind nur fast sicher und damit nicht eindeutig definiert und somit macht eine Aussage der Form $E(X_i|S=0)=0$ (streng genommen) keinen Sinn bzw. sie ist falsch. Es ist aber auch das Ergebnis $E(X_1|X_1+X_2=0)=1$ aus dem Beitrag Nr. 3 falsch (bzw. macht keinen Sinn).

    Schöne Grüße, Gelamos.





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