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Mechanik » Kinematik der Punktmasse » Ortsabhängige Beschleunigung
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Kein bestimmter Bereich Ortsabhängige Beschleunigung
ne6ukadnezar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-01


Folgende Aufgabe:

Die Beschleunigung $a(x)=b x^4$ einer geradlinigen Bewegung sei als Funktion des Ortes bekannt. Man berechne $v(x)$ für die Anfangsbedingung $v(x_0)= v_0$.

Ich habe gesehen, wie Physiker das machen. Damit bin ich aber unzufrieden. Könnte jemand diese Aufgabe lösen, der kein Physiker ist?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-01


Hallo ne6ukadnezar,
die Geschwindigkeit v(t) nach der Zeit t abgeleitet ist die Beschleunigung a(t). Die Geschwindigkeit v(x) nach dem Ort x abgeleitet ist a(x) geteilt durch v(x), siehe Geschwindigkeit als Funktion des Ortes.

Viele Grüße,
  Stefan



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-01


Hallo ne6ukadnezar,
man kann es so machen, wie StefanVogel hingewiesen hat, nämlich über die Kettenregel. Das dürfte wohl die Methode der Physiker sein, aber was Dich daran stört, erklärst Du ja nicht.
Hier ist daher noch eine schön einfache, ingenieurmäßige Variante:
Das Integral der Beschleunigungskraft entlang des Weges ist gleich dem Zuwachs an kinetischer Energie:
$$\intop_0^x m\cdot a(s)\mathrm ds=\frac12mv^2(x)-\frac12mv_0^2$$Durch $m$ geteilt und nach $v(x)$ aufgelöst:
$$v(x)=\sqrt{v_0^2+2\intop_0^x a(s)\mathrm ds}$$ Ciao,

Thomas



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-01


Hallo
 das über den Energiesatz zu machen ist wohl eher der Weg eines Physikers als eines Mathematikers, dem schon der Begriff kinetische Energie und Arbeit fehlt.
Gruß lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-01


Hallo lula,
mag sein. Mustergültiges Beispiel für eine unklare Fragestellung seitens des Threadstarters.

Ciao,

Thomas



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ne6ukadnezar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-01


MontyPythagoras, ich habe schon einige deiner Beiträge in diesem Forum gelesen, lange bevor ich selber hier angefangen habe. Manchmal habe ich gar den Eindruck, ich kenne dich schon persönlich. Ich möchte dich nicht angreifen, aber um ehrlich zu sein, war der Grund für meine Bitte um die Lösung eines Nicht-Physikers, dass ich genau deine Lösung nicht wollte. Ich wusste nicht, dass du Dipl. Ing. bist.

Die meisten Menschen können nur in Strukturen denken, die sie bereits kennen und zur Rezeption neuer Denkmuster sind sie nur bereit, wenn diese von Autoritäten im hohen Rang eines Professors kommen. Verzeihe mir die Offenheit, aber ich habe nicht den Eindruck, dass du etwas anderes widergeben kannst, als das, was du gelernt hast. Aber das, was du gelernt hast, kann ich sicher auch bei Wolfgang Demtröder nachlesen. Ein grausames Buch, wie ich finde, aus dem auch diese Aufgabe stammt.

Dass du mir eine unklare Fragestellung vorgeworfen hast, war sachlich richtig, denn ich hätte die Lösungswege von Ingenieuren auch ausschließen sollen, oder noch besser, nur Lösungen von Mathematikern erbitten sollen. Das ist aber egal, denn du hast genau verstanden, was ich meine. In dieser Szene gibt es Mathematiker und den ganzen Rest. Die kleinen Streitigkeiten zwischen Mathematikern und Physikern, die den Rest repräsentieren, kennst du genau und du kannst mir nicht erzählen, dass du das nicht aus meiner Frage herauslesen konntest, lula hat es sofort verstanden. Abgesehen davon empfinde ich deinen Stil subtil als etwas zu belehrend. In diversen Fällen hatte ich in deinen Beiträgen früher schon den Eindruck, dass du den Fragesteller zwischen den Zeilen etwas belächelst. Trotzdem schätze ich deine Hilfsbereitschaft und nun, da du schon geantwortet hast, bin ich auch froh darüber, denn an den Energierhaltungssatz habe ich gar nicht gedacht.

Zurück zum Thema. Ich bin gerade erst mit der Schule fertig und habe meinen Anlauf zum Physikstudium nach wenigen Wochen abgebrochen, weil ich unfähig war, mir die Denkmuster von Physikern anzueignen. Vor zwei Jahren habe ich mich nicht getraut, hier etwas zu schreiben, weil ich einfach zu wenig von der Materie verstand, das ist nun aber vorbei. Ich habe die Differenzial- und Integralrechnung verstanden und kann die Kettenregel anwenden. Aber im konkreten Fall sehe ich fehlende Begründungen und schlampigen Umgang mit dem Formalismus. Meine Integrität verbietet es mir, darüber einfach hinwegzusehen. Das hier ist die Lösung aus dem Demtröder.



Mittlerweile frage ich mich, was meint der Physiker eigentlich, wenn er $a$ sagt? Was ist $a$ für ein mathematisches Objekt? Offensichtlich ist es keine Funktion von der Zeit.

Was genau substituiert Herr Demtröder? Kann mir das jemand nachvollziehbar machen, ohne irgendwelche Differenziale herumzuschubsen? Kann hier überhaupt irgendjemand die Kettenregel ohne das Kürzen der Differenziale anwenden? Mein Praktikumsbetreuer konnte es nicht und hat meine Integration ganz gerne mal verrissen, obwohl ich sie im Nachhinein von einem Mathematiker als korrekt bescheinigt bekamt. Wie sieht es aus, kann es jemand ohne Differenziale? Oder kennt jemand eine solide axiomatische Formulierung des Differenzialkalküls der Physiker?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-01


2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Mittlerweile frage ich mich, was meint der Physiker eigentlich, wenn er $a$ sagt?

Damit ist nicht notwendigerweise eine ganz bestimmte Funktion gemeint (etwa die Beschleunigung als Funktion der Zeit), sondern irgendeine Funktion, die als Wert die Beschleunigung hat. Welche Funktion im jeweiligen Fall gemeint ist, muss man aus dem Kontext ablesen. Hierbei kann Kontext ganz wörtlich den Text in der Umgebung einer Formel bedeuten, aber auch eine Variable, nach der differenziert wird oder die als Argument auftaucht, ist Teil des Kontexts.

Wenn man will, kann man die verschiedenen mit $a$ bezeichneten Funktionen mit separaten Namen versehen und so zu einer in der Mathematik üblichen Schreibweise gelangen. Da diese Übersetzung möglich ist, ist die Schreibweise der Physiker nicht "irgendwie falsch", sondern nur "anders". Für den, der damit umgehen kann, ist die Physiker-Schreibweise bequemer als die Einführung von separaten Funktionsnamen, für den Anfänger ist sie allerdings anstregend.

(Eine Parallele zu der Physiker-Schreibweise findest du übrigens im Umgang mit Funktionen auf Mannigfaltigkeiten in der Mathematik.)

Nun zu deiner konkreten Rechnung. Hier kommen $a$, $v$ und $x$ in folgenden Bedeutungen vor:
1. $a$ als Funktion von $t$. Dafür schreibe ich mal $^{(t)}a$.
2. $a$ als Funktion von $x$. Dafür schreibe ich mal $^{(x)}a$.
3. $v$ als Funktion von $t$. Dafür schreibe ich mal $^{(t)}v$.
4. $v$ als Funktion von $x$. Dafür schreibe ich mal $^{(x)}v$.
5. $x$ als Funktion von $t$. Dafür schreibe ich mal $^{(t)}x$.
6. $x$ als Variable. Dafür schreibe ich nur $x$.
Außerdem braucht man noch die Umkehrfunktion zu $^{(t)}x$, für die ich $^{(t)}x^{-1}$ schreibe.

Mit diesen Bezeichnungen sieht die erste Zeile der Rechnung dann so aus:$$ {}^{(x)}a(x) =
{}^{(t)}a\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) =
{}^{(t)}v'\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) =
{}^{(x)}v'(x)\cdot{}^{(t)}x'\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) =
{}^{(x)}v'(x)\cdot{}^{(x)}v(x)
$$Man erkennt:
1. Hier wird wirklich nur die Kettenregel angewandt.
2. Der Verzicht auf die Physiker-Schreibweise macht das Ganze nicht wirklich übersichtlicher.

--zippy



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-01


Hallo zippy,
ich bin auch der Auffassung, dass in der Musterlösung das v in <math>\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}</math> sicherlich die gleiche physikalische Größe darstellt wie das v in <math>\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}</math>, aber nicht die gleiche mathematische Funktion. Daher halte ich unterschiedliche Bezeichnungen für richtig (mein Versuch war hier). Allerdings erkenne ich nicht, wie in

2020-03-01 16:53 - zippy in Beitrag No. 6 schreibt:
... <math>\displaystyle
{}^{(t)}v"\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) =
{}^{(x)}v"(x)\cdot{}^{(t)}x"\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) </math>

die Kettenregel angewendet wird, zumindestens nicht in der gängigen Form Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))g'(x).



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-01


Für \(h(x)=f(g(x))\) gilt \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\) aber man darf auf der linken Seite das h nicht durch f ersetzten und auch nicht auf der rechten Seite das f durch h, sonst wird das falsch und damit unverständlich. Wenn das doch so geschrieben steht, kann man nur versuchen, ob bei einer gedanklichen Korrektur das erwartete Ergebnis herauskommt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-01


2020-03-01 18:24 - StefanVogel in Beitrag No. 7 schreibt:
Allerdings erkenne ich nicht, wie in

2020-03-01 16:53 - zippy in Beitrag No. 6 schreibt:
... <math>\displaystyle
{}^{(t)}v"\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) =
{}^{(x)}v"(x)\cdot{}^{(t)}x"\Bigl({}^{(t)}x^{-1}(x)\Bigr) </math>

die Kettenregel angewendet wird, zumindestens nicht in der gängigen Form Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))g'(x).


Zwischen $^{(t)}v$ und $^{(x)}v$ besteht der Zusammenhang$$ {}^{(t)}v(t)={}^{(x)}v\Bigl({}^{(t)}x(t)\Bigr) \;.
$$Jetzt wenden wir darauf die Kettenregel mit $f={}^{(x)}v$ und $g={}^{(t)}x$ an:$$ {}^{(t)}v'(t)={}^{(x)}v'\Bigl({}^{(t)}x(t)\Bigr)
\cdot{}^{(t)}x'(t)
$$Das ist genau die Gleichung aus der ersten Zeile der Rechnung, wenn man als Argument$$ t={}^{(t)}x^{-1}(x)
$$einsetzt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-01


2020-03-01 19:16 - StefanVogel in Beitrag No. 8 schreibt:
aber man darf auf der linken Seite das h nicht durch f ersetzten und auch nicht auf der rechten Seite das f durch h, sonst wird das falsch und damit unverständlich.

Ich würde das in einer physikalischen Rechnung bedenkenlos tun, weil jeweils klar ist, welche Funktion gemeint ist.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-01


Hallo ne6ukadnezar,
das ist aber eine sehr aufwendige Art und Weise, zu sagen, dass man nach einer anderen Lösung gesucht hat.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
MontyPythagoras, ich habe schon einige deiner Beiträge in diesem Forum gelesen, lange bevor ich selber hier angefangen habe. Manchmal habe ich gar den Eindruck, ich kenne dich schon persönlich.
Da fühle ich mich ja direkt geschmeichelt, vielen Dank.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
In diversen Fällen hatte ich in deinen Beiträgen früher schon den Eindruck, dass du den Fragesteller zwischen den Zeilen etwas belächelst.
Den Fragesteller ganz bestimmt nicht. Höchstens Leute, die pseudokluge Kommentare abgeben und die leicht zu durchschauen sind. Ja, das kommt vor.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich möchte dich nicht angreifen, aber um ehrlich zu sein, war der Grund für meine Bitte um die Lösung eines Nicht-Physikers, dass ich genau deine Lösung nicht wollte. Ich wusste nicht, dass du Dipl. Ing. bist.
Gut, dass Du mich daran erinnerst. Dann war meine Lösung wohl automatisch falsch, und ich sollte den Moderatorenjob in diesem Subforum, in dem Du gepostet hast, am besten sofort niederlegen. Sicher ist sicher.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Die meisten Menschen können nur in Strukturen denken...
Und in Schubladen, offenkundig.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich habe die Differenzial- und Integralrechnung verstanden
Jetzt musste ich direkt schmunzeln, denn
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich bin gerade erst mit der Schule fertig
Doch, das war lustig. Besonders, wenn man schon damit Schwierigkeiten hat.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Verzeihe mir die Offenheit, aber ich habe nicht den Eindruck, dass du etwas anderes widergeben kannst, als das, was du gelernt hast. Aber das, was du gelernt hast, kann ich sicher auch bei Wolfgang Demtröder nachlesen.
Verzeihe mir die Offenheit, aber das kannst Du ganz sicher nicht. Du hast nicht die geringste Ahnung.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
da du schon geantwortet hast, bin ich auch froh darüber, denn an den Energierhaltungssatz habe ich gar nicht gedacht.
Du hast nicht nur nicht daran gedacht, Du hast auch immer noch nicht erkannt, dass man das, wonach Du suchst, aus dem Produkt $v(x(t))\cdot a(x(t))$ herleiten kann, mithilfe der Kettenregel und der Substitutionsregel. Aber das muss ich Dir ja nicht zeigen, Du kriegst das bestimmt allein hin.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Die kleinen Streitigkeiten zwischen Mathematikern und Physikern, die den Rest repräsentieren, kennst du genau und du kannst mir nicht erzählen, dass du das nicht aus meiner Frage herauslesen konntest, lula hat es sofort verstanden.
Ach, ist das so? Wenn ein Mathematiker mit den Begriffen "kinetische Energie" und "Arbeit" nichts anfangen kann, wie lula meint, was sollten ihn dann die Begriffe "Beschleunigung", "Geschwindigkeit" und "Weg" interessieren? Der Mathematiker denkt hier nur in den Begriffen "Funktionen" und deren "Ableitungen". Warum hast Du also die Aufgabe nicht komplett in die präzise Sprache der Mathematik übersetzt? Zu der Präzision in der Mathematik gehört auch, das Problem präzise zu beschreiben.
2020-03-01 15:33 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 5 schreibt:
Dass du mir eine unklare Fragestellung vorgeworfen hast, war sachlich richtig
[sic].

Die meisten Fragesteller suchen hier nun einmal nur nach möglichst einfachen Herleitungen. Entschuldige, dass ich nicht sofort erkannt habe, dass ich es mit einem Abiturienten zu tun habe, der die Differenzialrechnung verstanden hat.

Heute ist ein guter Tag, denn ich musste gerade zum wiederholten Male lächeln.

Ciao,

Thomas



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-01


Ja, mit dem Einsetzen <math>\displaymath t={}^{(t)}x^{-1}(x)</math> erkenne ich die Kettenregel. Mit t als Variable kommt sie besser zum Vorschein. Deshalb versuche ich das mal mit t als Variable aufzuschreiben, das dritte Gleichheitszeichen ist die Anwendung der Kettenregel

\(
{}^{(x)}a(x(t)) =
{}^{(t)}a(t) =
{}^{(t)}v'(t)\\ =
{}^{(x)}v'\Bigl({}^{(t)}x(t)\Bigr)\cdot{}^{(t)}x'(t)\\ =
{}^{(x)}v'\Bigl({}^{(t)}x(t)\Bigr)\cdot{}^{(t)}v(t)\\ =
{}^{(x)}v'\Bigl({}^{(t)}x(t)\Bigr)\cdot{}^{(x)}v\Bigl({}^{(t)}x(t)\Bigr)
\)

und jetzt <math>\displaymath t={}^{(t)}x^{-1}(x)</math> substituieren ergibt das benötigte

\(
{}^{(x)}a(x) =
{}^{(x)}v'(x)\cdot{}^{(x)}v(x)
\)


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-02


Hallo zusammen,

ich glaube nicht, dass man sich einen Gefallen damit tut, wenn man strikt zwischen den Lagern der Physiker und der Mathematiker unterscheidet. Insbesondere nicht bei Differentialgleichungen, wo viele interessante Beispiele nun mal aus der Physik kommen und einen ein gewisses physikalisches Verständnis oft weiterbringt.

Der Energieerhaltungssatz ist in dieser Form einfach eine Eigenschaft bestimmter Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In der DGL Vorlesung die ich gehört habe, wurde er auch als Lösungsmethode vorgestellt.

Wenn $x$ eine Lösung der DGL $x''(t) = f(x(t))$ ist und $f = -\phi'$ dann ist $E(t) = \tfrac{1}{2}x'(t)^2 + \phi(x(t))$ konstant. Das kann man durch Ableiten von $E$ einfach nachrechnen (oder äquivalent durch das Berechnen des Integrals $\int_{t_0}^t x''(t) x'(t) \, \mathrm d t$ auf zwei unterschiedliche Arten wie von MontyPythagoras angeschnitten).
Das Ganze klappt für vektorwertige $x, f$ auch, wenn man dann $f = - \nabla \phi$ fordert. Dann reicht aber Stetigkeit von $f$ allein nicht mehr für die Existenz von $\phi$.



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ne6ukadnezar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-02


Ich versuche es jetzt auch mal mit der Zeile
\[
a=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\cdot\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\cdot v.
\]
Also, mit $t$ bezeichne ich immer die Zeit und mit $x$ den Ort. Das sind keine Funktionen, sondern einfach nur die Physikalischen Größen, die man irgendwann messen könnte. Die Funktionen $a$, $v$, $s$ sind jeweils nur Funktionen der Zeit mit $s''=v'=a$ und $s\left(t\right)=x$. Die Umkehrfunktionen benenne ich $\overline{a}$, $\overline{v}$ und $\overline{s}$. Ich habe $a\left(x\right)$ als $a\left(\overline{s}\left(x\right)\right)$ aufgefasst und $v\left(x\right)$ als $v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)$.

Dabei sehe ich aber jetzt schon das Problem, dass die Funktionen ja gar nicht umkehrbar sein müssen. Wenn nämlich die Anfangsgeschwindigkeit ein anderes Vorzeichen als $b$ hat, wird das Objekt seine Richtung ändern und ein gewisses Intervall mehrfach passieren und damit sind weder $s$ noch $a$ invertierbar. Aber lassen wir das mal beiseite. Die erste Zeile in der Lösung lese ich so:

\[
a\left(t\right)=a\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=v'\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=\frac{v'\left(\overline{s}\left(x\right)\right)\cdot\overline{s}'\left(x\right)}{\overline{s}'\left(x\right)}=\frac{\left(v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)\right)'}{\overline{s}'\left(x\right)}
\]
Ist aber noch nicht fertig. Ich will nur anmerken, dass die letzten beiden Schritte alles andere als billig sind. Hier zu erweitern, damit oben die Struktur einer Ableitung nach der Kettenregel steht, ist nicht mehr so offensichtlich, wenn ich $a\left(\overline{s}\left(x\right)\right)$ als $a\left(x\right)$ oder einfach nur als $a$ schreibe.

Als nächstes verwende ich die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion, die korrekt nämlich
\[
\left(f\left(\overline{f}\left(x\right)\right)\right)'=x'\quad\Longrightarrow\quad f'\left(\overline{f}\left(x\right)\right)\cdot\overline{f}'\left(x\right)=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overline{f}'\left(x\right)=\frac{1}{f'\left(\overline{f}\left(x\right)\right)}}
\]  lautet und nicht einfach
\[
\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{1}{\frac{\text{d}y}{\text{d}x}}.
\] Ich habe kein Problem, wenn Leute die Schreibweise mit dem Kehrwert benutzen. Die Ableitung der Umkehrfunktion kann man sich schließlich geometrisch durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden klar machen, wobei im Steigungsdreieck die Katheten ihre Rollen tauschen. Ich habe aber ein Problem damit, wenn ein promovierter Physiker, der mich in Mathe unterrichtet, die korrekte Form nicht kennt.

Wie dem auch sei, damit sieht die Zeile für mich so aus.

\[
a\left(t\right)=a\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=v'\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=\frac{\left(v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)\right)'}{\overline{s}'\left(x\right)}=\left(v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)\right)'\cdot s'\left(\overline{s}\left(x\right)\right)
\]



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zippy
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2020-03-02 13:26 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich will nur anmerken, dass die letzten beiden Schritte alles andere als billig sind.

In den Beiträgen 9 und 12 (hast du die gelesen?) findest du einen alternativen Weg, der ohne die Ableitung der Umkehrfunktion auskommt.



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ne6ukadnezar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-02


Doch, das habe ich gelesen. Aber ich finde den Formalismus etwas dick aufgetragen. Diese vielen Versionen von $a$, $v$ und $x$ machen das zwar präzise, aber man würde das ja in keiner konkreten Aufgabestellung so verwenden. Ich suche einen Formalismus, der präzise ist, aber immer noch so wenig wuchert, dass man konkrete Aufgaben damit lösen kann und auch noch MÖCHTE. Ich denke, ich bin damit gar nicht auf dem falschen Weg.

Mir ist jetzt auch klar, wie es weiter geht.
\[
a\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=\left(v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)\right)'\cdot s'\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=\left(v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)\right)'\cdot v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=\left(\frac{v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)^{2}}{2}\right)'
\] Den letzten Schritt finde ich aber wieder denkwürdig. Das macht man nicht automatisch, wenn man nicht schon die Erfahrung mitbringt. Aber cool! Damit kann ich jetzt integrieren
\[
\int_{x_{0}}^{x}a\left(\overline{s}\left(\xi\right)\right)\text{d}\xi=\int_{x_{0}}^{x}\left(\frac{v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)^{2}}{2}\right)'\text{d}\xi
\] und erhalte mit $a\left(\overline{s}\left(\xi\right)\right)=b\xi^{4}$ schließlich
\[
\int_{x_{0}}^{x}b\xi^{4}\text{d}\xi=\frac{v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)^{2}}{2}-\frac{v\left(\overline{s}\left(x_{0}\right)\right)^{2}}{2},
\] was mit $v\left(\overline{s}\left(x_{0}\right)\right)=v_{0}$ und $v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)=v\left(t\right)$ zu
\[
\frac{bx^{5}}{5}-\frac{bx_{0}^{5}}{5}=\frac{v\left(t\right)^{2}}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}
\] führt. Damit habe ich die Lösung im Buch reproduziert. Das einzige Problem ist jetzt noch die Umkehrbarkeit von $s$. Darüber muss ich noch nachdenken.



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MontyPythagoras
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Fertig?
2020-03-02 22:11 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 16 schreibt:
Aber ich finde den Formalismus etwas dick aufgetragen. (...)
Ich suche einen Formalismus, der präzise ist, aber immer noch so wenig wuchert, dass man konkrete Aufgaben damit lösen kann und auch noch MÖCHTE.
Das erste hätte ich jetzt auch über Deinen Formalismus behauptet, das zweite dagegen sicher nicht.
2020-03-02 22:11 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 16 schreibt:
\[
\frac{bx^{5}}{5}-\frac{bx_{0}^{5}}{5}=\frac{v\left(t\right)^{2}}{2}-\frac{v_{0}^{2}}{2}
\]
So, wie es da steht, ist es minderrichtig. Wenn Du schon während der ganzen Herleitung explizit auf den Zusammenhang zwischen s (bzw. x) und t baust, darfst Du ihn hier nicht weglassen. Entweder müsste jetzt rechts $t(x)$ stehen, oder besser links $x(t)$ (auch in der Integralgrenze).
Gewonnen hast Du durch die ganze Akrobatik aber nichts, nur weil Du die Differentialquotienten durch Ableitungen ersetzt hast. Schließlich wird die Kettenregel genau so, nämlich durch Verwendung der Differenzenquotienten (!) und anschließenden Grenzübergang $\rightarrow0$ hergeleitet. So dürftest Du es auch im Matheunterricht gelernt haben. Man sollte den Differentialquotienten (!) nicht mit dem Differenzenquotienten verwechseln und auch nicht als Bruch im eigentlichen Sinne betrachten, sondern als einen Operator, nämlich den Differentialoperator, der einfach die angenehme Eigenschaft mitbringt, dass man "wie mit Brüchen" rechnen kann, der aber nichts anders bedeutet als das Ableitungssymbol "Strich". Das kann man einmal beweisen, und muss es nicht bei jeder einzelnen Rechnung in der Physik wieder neu durchziehen, denn wenn man ehrlich ist, war diese Herleitung Kinderkram im Vergleich zu aufwendigen Differentialgleichungen, wo eventuell viele unterschiedliche Größen zeit- oder wegabhängig sind, oder gleich abhängig von mehreren Ortskoordinaten. Wenn Du erst einmal mit partiellen Ableitungen hantieren musst, und das auch noch in 3- oder n-dimensionalen Räumen, wirst Du dankbar sein für jede abkürzende Darstellung. Mit Strichen kommst Du da nicht weit.
Natürlich muss man sich über Stetigkeit und Differenzierbarkeit Gedanken machen, ggf. auch noch über Bijektivität, aber zumindest außerhalb der Quantenphysik ist das in aller Regel kein Problem, weshalb die abkürzende Schreibweise mit den Differentialquotienten besonders in der Physik eine effiziente und extrem nützliche Methode ist. Außerdem erhöht die Schreibweise mit dem Differentialquotienten gegenüber der Strichschreibweise die Klarheit, nach welcher Größe eigentlich angeleitet wird. Im Mathematikunterricht in der Schule ist das alles klar, es wird nach x abgeleitet und fertig, aber in der Physik ist das schon ein wenig unübersichtlicher.
Die zweite wichtige Erkenntnis sollte sein, dass hier die Betrachtung der Zeitabhängigkeit gar nicht notwendig ist, nur weil die Beschleunigung zufällig die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist, wenn es um die Bewegung einer Punktmasse geht. Überall um uns herum ist eine dauernde Beschleunigung, ganz ohne Geschwindigkeit, nämlich die Schwerebeschleunigung. Selbst wenn ich einen Körper z.B. mit konstanter Geschwindigkeit gegen die Schwerkraft anhebe, berechnet man durch die Integration der Schwerebeschleunigung entlang des Weges die Zunahme an potentieller Energie. In dem Falle ist die Beschleunigung der Punktmasse trotzdem null, die Schwerebeschleunigung in Erdbodennähe aber 9,81m/s².

Ciao,

Thomas



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-03-16


Hallo ne6ukadnezar,

ich mache das nicht oft, aber in diesem Thread kann ich nicht widerstehen einen Kommentar zu schreiben.

Mama Cass sagt zwar du sollst deine eigene Art von Musik machen ...

2020-03-02 13:26 - ne6ukadnezar in Beitrag No. 14 schreibt:
(...) Die Funktionen $a$, $v$, $s$ sind jeweils nur Funktionen der Zeit mit $s''=v'=a$ und $s\left(t\right)=x$. Die Umkehrfunktionen benenne ich $\overline{a}$, $\overline{v}$ und $\overline{s}$. Ich habe $a\left(x\right)$ als $a\left(\overline{s}\left(x\right)\right)$ aufgefasst und $v\left(x\right)$ als $v\left(\overline{s}\left(x\right)\right)$.

... aber mit dieser Notation schießt du dir wirklich selber ins Bein!

In den Mathe-Vorlesungen nehmen Funktionen und deren Argumente (i.d.R.) dimensionslose Werte an. Hat man eine invertierbare Funktion

$$\, f \colon U \rightarrow V \\
\quad \quad \quad \xi \mapsto f(\xi) \text{,}
$$ mit $U$,$V \subset \mathbb{R}$, dann kann man genauso gut für die Umkehrfunktion $f^{\operatorname{inv}}$ schreiben

$$f^{\operatorname{inv}} \colon V \rightarrow U \\
\quad \quad \quad \quad \quad \, \, \xi \mapsto f^{\operatorname{inv}}(\xi) \text{.}
$$
(Um es nochmal hervorzuheben: Ich benutze sowohl für das Argument der Funktion, als auch für das Argument der Umkehrfunktion den Buchstaben $\xi$.)

In Physik ist diese Notation einfach nicht sinnvoll weil fast alles einheitenbehaftet ist. Konkreter: Die Bahnkurve

$$ \quad \quad \quad \quad \quad x\colon (t_{\text{i}}, t_{\text{f}}) \to (x_{\text{i}}, x_{\text{f}}) \equiv (x(t_{\text{i}}), x(t_{\text{f}})) \\
\, t \mapsto x(t)
$$
(sie sei hier jetzt invertierbar) bildet Werte mit der Einheit $\mathrm{Sekunde}$ auf Werte mit der Einheit $\mathrm{Meter}$ ab. (Das Intervall $(t_{\text{i}}, t_{\text{f}})$ liegt nicht in $\mathbb{R}$ sondern in $\mathbb{R} \cdot \mathrm{Sekunde}$, usw.)

Es ist deshalb extrem sinnvoll die Umkehrfunktion von $x(t)$ einfach mit $t(x)$ zu bezeichnen, weil dadurch klar wird, dass der Funktionswert die Einheit einer Zeit hat.

Dass $a(x)$ in Wirklichkeit eine verkettete Abbildung bezeichnet hast du richtig erkannt. Lies dir doch einfach mal meine Notizen auf dem Interpretationsvorschlag durch. Vielleicht fällt dann ja ein Groschen! :)




(...) und der Reste dürfte klar sein. :) (Mit dieser Interpretation fahre ich bis jetzt ganz gut...)

Ich kann mich den Kommentaren von zippy und MontyPythagoras nur anschließen: Die Physiker-Notation (die in der Mechanik in aller Regel auf Standard-Fakten der Analysis 1 aufbaut) verkürzt den Schreibaufwand einfach enorm.
Es sind halt auch immer die gleichen paar Griffe ...

(Definition einer neuen Abbildung ("Koordinatenwechsel"), Kettenregel, Substitutionsregel, Umkehrregel...)

... und sie jedes mal in aller Ausführlichkeit zu erklären wäre so, als würde man mit Kanonenkugeln auf Spatzen schießen.

Wenn dich jemand bittet $x^n$ abzuleiten, dann benutzt du ja auch nicht den Differenzialquotient in Kombination mit dem binomischen Lehrsatz, sondern du schreibst einfach $n x^{n-1}$ hin. *Zwinker.*

Du siehst ja selber wie kompakt die Lösung von Professor Demtröder ist. Die von MontyPythagoras ist sogar noch kürzer.

Noch ein Kommentar zuletzt den ich mir nicht verkneifen kann: Die Leute hier (von denen diejenigen mit dem Senioren-Status praktisch alle lächerlich überqualifiziert sind) beschäftigen sich hier mit deinem Problem und das auch noch für umsonst!!! Deshalb hier ein gut gemeinter Rat den mir mal ein kluger Mann gegeben hat:
Erfahrungsgemäß reüssiert derjenige, der von Gott und der Welt als möglichst angenehm wahrgenommen wird.


Grüße
Skalhoef


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Die Welt wird eben nicht mit Vernunft regiert, und erst recht nicht mit Liebe. - Max Born



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Skalhoef
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Ich will noch nachlegen:

1. Man könnte kritisieren, dass in meiner Notation jeweils aus dem Kontext geschlossen werden muss, ob ich mit $x$ bzw. $t$ eine Variable oder eine Funktion meine.

Etwa in der Gleichung

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} v(t(x)) = \left( \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t} \right) (t(x)) \cdot \left( \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \right) (x)
$$
würde es dann eigentlich (wenn man diese Unterscheidung durch zusätzliche Indizes vornehmen würde) heißen

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_{\text{v}}} v(t_{\text{f}}(x_{\text{v}})) = \left( \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t_{\text{v}}} \right) (t_{\text{f}}(x_{\text{v}})) \cdot \left( \frac{\mathrm{d}t_{\text{f}}}{\mathrm{d}x_{\text{v}}} \right) (x_{\text{v}}).
$$
An solchen Stellen merkt man dann nochmal wie "angenehm" die Physiker-Notation ist (die dann letztendlich auch reüssiert hat *zwinker*).

2. Diese Praxis, dass man aus dem Kontext schließen muss was genau gemeint ist, ist nicht nur in der Physik üblich. Etwa in Java überlagert man Methoden und ruft diese dann mit verschiedenen Argumenten auf.


Grüße
Skalhoef


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