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Universität/Hochschule Spitzer Kegel
Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-07


Hallo,
Angenommen man betrachtet eine vektorwertige, konvexe Funktion f und einen konvexen spitzen abgeschlossen Kegel K.
Es gelte folgendes:

\(f(x_1) \in f(x_0) - K \setminus \{0\} - k\) mit \(k \in K\)

Daraus folgt dann: \(f(x_1) \in f(x_0) - K \setminus \{0\}\)

Warum gilt das?
Anscheinend soll hier ausgenutzt werden, dass K spitz ist?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-08


Hallo Sebastian142,
\(f(x_1)\) kann man mit der Teilmengendefinition aus der Behauptung eliminieren

\( (f(x_0) - K \setminus \{0\} - k ) \subset (f(x_0) - K \setminus \{0\} - k ) \)

und diese Behauptung ist äquivalent zu

\( (- K \setminus \{0\} - k ) \subset ( - K \setminus \{0\} ) \)

weil \(f(x_0)\) nur eine Parallelverschiebung der beiden Mengen bewirkt. Das Vorzeichen ist nur eine Punktspiegelung, es bleibt zu zeigen

\(( K \setminus \{0\} + k ) \subset ( K \setminus \{0\} ) \).

In Worten \(k\) verschiebt den Kegel ohne Spitze in sich selbst. Um diese Behauptung zu zeigen, muss man dann alles anwenden, was zum Kegel vorausgesetzt wird.  

Viele Grüẞe,
  Stefan



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Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


Hallo Stefan, vielen Dank für deine Antwort:)

Also ich würde 2 Fälle unterscheiden. Im Fall \(k \ne 0\) gilt die Beziehung aufgrund der Konvexität von \(K \setminus \{0\} \)

Im Fall \(k=0\) habe ich erstmal keine Idee: Es gilt doch \(K \cap -K = \{0\}\) aufgrund der Spitzheit. Aber wie verwende ich das jetzt?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-08


Ja, die Konvexheit wird hier gebraucht. Bei \(k=0\) ist \(( K \setminus \{0\} + k ) = ( K \setminus \{0\} ) \), also erst recht \(( K \setminus \{0\} + k ) \subset ( K \setminus \{0\} ) \), oder übersehe ich da etwas?



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Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


Ne wsl nicht, aber die Spitzheit habe ich doch gar nicht verwendet?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-08


Es war ja auch nicht verlangt, die Spitzheit zu verwenden. Vielleicht wird sie in einem späteren Beweisschritt gebraucht.



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Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


Doch an der Stelle sollte das egtl verwendet werden. Deshalb habe ich mich auch gewundert:(



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-08


f(x) und deren Konvexheit wird auch nicht verwendet. Woraus schließt du, dass anscheinend die Spitzheit verwendet werden soll?



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Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


Weil der Prof an der Stelle in den Vorausstzungen Spitzheit ergänzt hat und gesagt hat, dass es hier verwendet wird.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-08


Weil aber die Voraussetzung f(x) konvex auch nicht verwendet wird, nehme ich an, dass der Beweis nicht nur aus diesem einen Schritt besteht und vielleicht eine andere Stelle des Beweises gemeint war. Bei diesem Schritt jedenfalls wird die Spitze mit oder ohne der Null nicht gebraucht. K konvex reicht, dann liegt K+k im Inneren von K oder zum Teil mit auf dem Rand von K.



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Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


Ok deshalb habe ich mich auch gewundert. Konkret ging es um folgenden Satz:

Sei f\(R^n \rightarrow R^m\) K-konvex. \(K \subset R^m \) und K ist abgeschlossen, konvex und spitz. dann gilt: \(f(x_0) \in Eff( f(R^n),K) \Leftrightarrow \exists y^* \in K \setminus\{0\} : \forall x \in R^n : y^*(f(x)) \geq y^*(f(x_0))\)

Siehst du vllt, wo man hier die Spitzheit verwenden könnte?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-08


Da muss ich auch erst paar Begriffe googeln, K-konvex und Eff. Ich hätte das im Zusammenhang damit vermutet, dass irgendein Element (Minimum) eindeutig bestimmt sein soll, doch darum geht es hier auch nicht. Bleibt noch der Weg, wenn du versuchst, den Beweis mit einer nicht spitzen Menge K durchzugehen, ob da irgendwo ein Gegenbeispiel angegeben werden kann, wo die Behauptung nicht gilt.



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Sebastian142
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-09


Ich finde auch keinen Grund,warum der Kegel spitz sein muss. Vllt war das einfach ein Fehler?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-14


Da hatten wir beide Brett vorm Kopf. Bei \(K\) konvex und nicht spitz liegt für einen Randpunkt \(k\) auch \(-k\) auf dem Rand. \(-k\) wird von \(k\) auf den Nullpunkt verschoben. \(K \setminus \{0\}\) ist nicht mehr konvex.



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