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Mathematik » Numerik & Optimierung » Sind Voraussetzungen für Fixpunktsatz bei dieser Funktion gegeben?
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Universität/Hochschule Sind Voraussetzungen für Fixpunktsatz bei dieser Funktion gegeben?
n8rator
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-10


Hey zusammen,

ich denke, ein erfahrener Numeriker sieht relativ schnell die Antwort auf meine Frage:

Gegeben ist die Funktion

\[f(x)=x\sec^2(x)+\tan(x)-c\]
Mich interessiert nur die erste (positive) Nullstelle, falls es mehere geben sollte (abhängig von c).

Meine Frage: Sind bei dieser Funktion die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatz gegeben?

Ein paar Tests mit verschiedenen Startwerten haben alle ergeben, dass die x-Werte weglaufen, von daher würde ich jetzt mal tippen, dass die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Ich tippe darauf, dass die Eigenschaft der Kontraktivität nicht erfüllt ist, bin aber (als kein Mathestudent, "nur" E-Technik) nicht sicher, wie ich das genau begründen kann...

Dankbar für jede Hilfe 🙂
LG

PS: Hier der Plot der Funktion, beispielhaft für \(c=6\):\\
<math>
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=1\textwidth,
height=.7\textwidth,
xmin=-22, xmax=22,
ymin=-30, ymax=30,
restrict y to domain=-100:100,
xtick={-7*pi,-6*pi,-5*pi,-4*pi,-3*pi,-2*pi,-pi,0,pi,2*pi,3*pi,4*pi,5*pi,6*pi,7*pi},
xticklabels={$-7\uppi$,$-6\uppi$,$-5\uppi$,$-4\uppi$,$-3\uppi$,$-2\uppi$,$-\vphantom{1}\uppi$,$0$,$\vphantom{1}\uppi$,$2\uppi$,$3\uppi$,$4\uppi$,$5\uppi$,$6\uppi$,$7\uppi$},
%ytick={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
%yticklabels={-10,,,,,-5,,,,,0,,,,,5,,,,,10},
xlabel = {$\phi_i$},
ylabel = {$\xi\left(\phi_i\right)$},
enlargelimits=false,
grid=both,
legend style={at={(1,0)},anchor=south east}]

\addplot[black] coordinates {(-22,0) (22,0)};
\addplot[black] coordinates {(0,30) (0,-30)};
\addplot[no marks,domain=-22:22,samples=351,blue,thick] {x*sec(deg(x))*sec(deg(x))+tan(deg(x))-6};% node[below]{$\xi\left(\phi_i\right)=\phi_i\sec^2\left(\phi_i\right)+\tan\left(\phi_i\right)$};

\legend{$\xi\left(\phi_i\right)$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
</math>



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-14


Hey n8rator,

Die Funktion
$$ [0, \pi/2) \to \IR_+, x \mapsto x \sec(x)^2 + \tan(x)
$$ ist surjektiv. Für dich bedeutet das, dass die erste positive Nullstelle deiner Funktion $f$ immer in $[0,\pi/2)$ liegen wird.
Die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunksatzes sind nicht erfüllt, da die Funktion nicht Lipschitz-stetig ist. Dafür wächst sie zu schnell gegen unendlich. Was du aber versuchen könntest, ist das Newtonverfahren. Das konvergiert für jede Wahl von $c$ sehr schnell. Pass aber auf, dass du nicht in 0 startest, da die Funktion $f$ dort einen Sattelpunkt hat.

Viele Grüße
Torsten



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