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Universität/Hochschule J Konvergenz von Funktion mit arithm., harm. Mittel
Aimbot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-11


Hallo,

wie kann ich zeigen, dass

fed-Code einblenden

für fed-Code einblenden gilt?

Irgendwie habe ich nicht so recht eine Idee...



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-11


Hallo,

leider kann ich dir diese Frage nicht beantworten. Trotzdem versuche ich dir mal zu helfen. Für $x>\max\{|t_1|,\ldots,|t_n|\}$ ist jedes $x+t_i>0$. Das bedeutet, dass der Ausdruck
\[\frac 1n \sum_{i=1}^n\frac{1}{x+t_i}\] wohldefiniert ist und dass
\[\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n\frac{1}{x+t_i}\right)^{-1}\leq \frac 1n \sum_{i=1}^n(x+t_i)= x+\frac 1n \sum_{i=1}^nt_i\] gilt. Der Ausdruck rechts ist das arithmetische Mittel der Zahlen $x+t_i$. Der Term links ist das harmonische Mittel. Das harmonische Mittel positiver reeller Zahlen ist immer kleiner/glich dem arithmetischen Mittel. Insofern gilt für $x>\max\{|t_1|,\ldots,|t_n|\}$:
\[x-\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n\frac{1}{x+t_i}\right)^{-1}\geq x-\frac 1n \sum_{i=1}^n(x+t_i)= -\frac 1n \sum_{i=1}^nt_i.\]



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Aimbot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Super danke ochen, das zeigt auf jeden Fall schon mal die eine Hälfte.

Ich habe ganz vergessen zu erwähnen (und gerade noch ergänzt), dass fed-Code einblenden sind. Damit ist die Wohldefiniertheit noch was einfacher.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-11


Vielleicht noch eine ganz andere Idee:

Setze \[p(x)=(x+t_1)\cdots (x+t_n),\] dann ist
\[\sum_{i=1}^n\frac{1}{x+t_i}=\frac{p'(x)}{p(x)}.\] Wir erhalten also
\[x-\left(\frac 1n\sum_{i=1}^n\frac{1}{x+t_i}\right)^{-1}=x-\frac{np(x)}{p'(x)}=\frac{xp'(x)-np(x)}{p'(x)}.\]
Wir müssen uns nun oben und unten die führenden Koeffizienten angucken. Beides sind Polynome vom Grad $n-1$. Rechne das mal bitte nach, denn das ist für das Zählerpolynom gar nicht so offensichtlich. Der führende Koeffizient des Nennerpolynoms ist $n$ (warum?). Was ist der des Zählerpolynoms?

Insbesondere ist die Behauptung aus dem Themenstart richtig. Daran habe ich anfangs nicht geglaubt 🙈



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Aimbot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Das ist wirklich interessant. Danke!

Damit ist

\[p(x)=(x+t_1) \cdot ... \cdot (x+t_n)=x^n+\sum_{i=1}^n t_i x^{n-1} + q\] und
\[p'(x)=\sum_{i=1}^n \frac{p(x)}{x+t_i}=nx^{n-1}+\sum_{i=1}^n t_i (n-1) x^{n-2} + \tilde{q} \]
Also der Leitkoeffizient von \( x p'(x) - np(x) \) genau \( - \sum_{i=1}^n t_i \) und damit komme ich dann auch auf die Behauptung.



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