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Kein bestimmter Bereich Euro-Schiebereien
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-11


Man kann um einen Euro genau sechs Euro umlegen, so daß die umliegenden Euros alle den zentralen Euro berühren und die umliegenden auch je die beiden Nachbareuros berühren. Die Flächen der umliegenden Euros zu der des Zentraleuros verhalten sich naturgemäß wie 1:6.

Wieviel Münzen welchen Radiusses muß man um den einen Euro umlegen, so, daß die Oberfläche* der umliegenden Münzen gleich der des zentralen Euros ist?


*es sei nur die nach oben weisende Oberfläche der Münze unter Oberfläche verstanden.

Besteht ein Zusammenhang des Ergebnisses zu der Tatsache, daß man ein 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren kann?


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Bekell,

das lässt sich meiner Ansicht nach überhaupt nicht realisieren. Denn es soll ja so sein, dass es zwischen den umliegenden Münzen nirgends zu einer Lücke kommt?

Ich bin das per CAS einmal so angegangen, dass ich die Fläche der umliegenden Münzen in Abhängigkeit ihrer Anzahl n ausgedrückt habe und diese Fläche mit der Fläche des inneren Kreises dann gleichgesetzt habe.

Dabei erhalte ich einen Wert von ca. \(51.8\) (umliegenden Kreisen). Ich interpretiere diesen Wert so, dass ab \(n=52\) die Gesamtfläche der umliegenden Münzen kleiner ist als die innere Kreisfläche und für \(n\le 51\) dementsprechend größer.

EDIT: diese Werte sind noch falsch, die richtigen stehen in Beitrag #5.

Oder um was genau geht es dir? Den genannten Zusammenhang zur Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks kann ich jedenfalls nicht nachvollziehen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Hallo Diophant, ein Kreis mit dem Durchmesser 1 passt genau 4 x in einen anderen Kreis mit dem Durchmesser 2. Demnach passt ein Kreis mit dem Durchmesser 1/2 genau 16 mal in einen Kreis mit dem Durchmesser 2.

Tortet man den Kreis in 1/16 Stücken kann man hinter jedes 1/16 Stück so ein kleines 1/16 Kreislein stellen, deren beide Radien auf den Mittelpunkt des Nachbarkreis gerichtet und verbunden, einen 180-22,5 Grad Winkel bilden in einem 16-Eck.

Stimmt das nicht?


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-11


Hallo,

2020-03-11 14:32 - Bekell in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Diophant, ein Kreis mit dem Durchmesser 1 passt genau 4 x in einen anderen Kreis mit dem Durchmesser 2...

Falsch. Genau zweimal. Aber das hat für mich jetzt mit der Ausgangsfrage rein gar nichts zu tun.


Gruß, Diophant



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Ich meinte flächenmäßig, nicht formmäßig! Es heißt doch A = pi r QUADRAT!


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmals,

2020-03-11 14:38 - Bekell in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich meinte flächenmäßig, nicht formmäßig! Es heißt doch A = pi r QUADRAT!

Ok, da hatte ich dich falsch verstanden.

Zunächst muss ich mich korrigieren, ich hatte einen Tippfehler in meiner Mathcad-Datei. Der ist jetzt behoben und jetzt kann ich besser nachvollziehen, wieso du auf diese Vermutung kommst.

Der richtige Wert ist nämlich \(n\approx 15.33\), also etwas kleiner als 16. Bei 16 solchen Kreisen würde sich eine Gesamtfläche ergeben, die ca. 94% der Grundkreisfläche ausmacht.

Vermutlich hast du da von Hand oder mit einer Geometriesoftware etwas herumgespielt und nicht genau genug hingesehen? Auf jeden Fall bleibt es dabei: das ist nicht realisierbar. Bis \(n=15\) Kreise ist die Gesamtfläche größer und ab \(n=16\) kleiner als die des Grundkreises.

Ich bin so vorgegangen: sei \(n\) die Anzahl der Tortenstücke (Kreissektoren). Der Winkel eines Tortenstücks ist dann \(\varphi(n)=\frac{2\pi}{n}\).

Nun lege ich die umliegenden Kreise so, dass ihre Mittelpunkte jeweils auf den verlängerten Radien zwischen den Kreissektoren liegen. Zwischen dem Radius \(r_n\) der kleinen Kreise und dem Radius \(R\) des Grundkreises besteht dann die Beziehung

\[\frac{r_n}{r_n+R}=\sin\frac{\varphi(n)}{2}=\sin\frac{\pi}{n}\]
bzw.

\[r_n=R\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{1-\sin\frac{\pi}{n}}\]
Die Gesamtfläche der umliegenden Kreise ergibt sich dann zu

\[A_n=\pi\cdot n\cdot r_n^2\]
Und das setze ich dann mit der Fläche des Grundkreises gleich:

\[A_n=A\quad\Leftrightarrow\quad \pi\cdot n\cdot r_n^2=\pi\cdot R^2\]
Da kann man jetzt zur Vereinfachung noch \(\pi\) herausdividieren und \(R=1\) setzen. Allerdings sehe ich keine Möglichkeit, die so entstehende Gleichung von Hand zu lösen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-11


Also ich habe das Anliegen verstanden. Frage ist, wie viele kleiner Kreise müssen um einen Einheitskreis gelegt werden, dass die 1. bündig ringsrum sind und 2. die Summe aller kleinen Kreisflächen = dem Flächeninhalt des großen in der Mitte ist. Aber ob das nun 17 ist, weiß ich nun nicht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-11


Hallo Bekell,

meinst Du das so ?


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Gruß haegar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-11


2020-03-11 15:21 - haegar90 in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo Bekell,

meinst Du das so ?

So habe ich es jedenfalls aufgefasst.


Gruß, Diophant



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11




A: Wir sind uns doch einig, daß der Kreis um C genau 1/4 der Fläche des Kreises um A.
B: Ebenso sind wir uns einig, daß der Kreis um D 1/4 der Fläche des Kreises um C hat, oder?

C: Wenn beide Sätze stimmen, passt der Kreis um D 16 x in den Kreis um A rein, flächenmäßig, oder?  

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Ich denke, Diophant, Du hast recht, wenn D aus E läge, hätte ich recht, so besteht aber noch ein gewisses Spiel, und die Kreise berühren sich nicht bei der 16-telung.  


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Bekell,

dieses Missverständnis ist doch behoben, d.h., dass das hier:

2020-03-11 15:26 - Bekell in Beitrag No. 9 schreibt:
C: Wenn beide Sätze stimmen, passt der Kreis um D 16 x in den Kreis um A rein, flächenmäßig, oder?  

stimmt.

Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass deine Ausgangsfrage nicht lösbar ist. Zwar kannst du für eine beliebige Anzahl \(n\ge 3\) jeweils einen Radius finden, so dass sich die \(n\) umliegenden Kreise berühren und es nirgends eine Lücke gibt.

Es gibt dabei aber keine mögliche Anzahl, für welche die Gesamtfläche der umliegenden Kreise exakt gleich der Fläche des inneren Kreises ist. Siehe Beitrag #5.


Gruß, Diophant
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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Danke, Diophant, es war zu schön, um wahr zu sein....


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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-11


Bekell,
das Problem sehe ich, wenn wir zwar ein regelm. n-Eck haben, dann entspricht die Seite von Punkt zu Punkt nicht dem Durchmesser des kleinen Kreises. Insofern ist fraglich, ob eine bündige Anordnung von 6,7,8,....x Kreisen ein jedes x gibt, das die Summe aller Kleinen exakt dem Großen ist.

Diophant hat wohl recht.

P.S. Eigentlich auch verstänlich, denn der Kreisinhalt der Mitte ist r²pi, mit r=1. Somit müsste pi durch einen Faktor x (Anzahl der kleinen Kreis) exakt bestimmtbar sein, was so nicht geht.


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Ja, Diophant hat recht, die einzige gradzahlige Lösung ist 1: 6 bei gleichgroßen Kreisen. Man könnte jetzt noch einmal überlegen, wo, bzw. in welchem Abstand vom großen Kreisrand die Mittelpunkte der kleinen Kreise hinkämen, würde man sie so hinrücken, daß sie einander berühren. Aber, das wird irgendwo was Krummes. Ich fand das eingebildet ganzzahlige Verhältnis reizvoll.

Noch interessanter ist die Frage, wieviele der kleinen Kreise besagter Größe bekommt man wirklich in den großen Kreis, ohne daß diese sich überlappen. Hier kann es nur eine ganzzahlige Lösung < 16 geben, und das reizvolle, die nicht in den kleinen Kreisen sich befindliche Fläche laßt sich in x/16 genau angeben.




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-03-11 16:09 - Bekell in Beitrag No. 13 schreibt:
Ja, Diophant hat recht, die einzige gradzahlige Lösung ist 1: 6 bei gleichgroßen Kreisen.

Ich kann es zwar (noch) nicht begründen, aber laut CAS gibt es in der Hinsicht noch eine weitere Lösung. Für \(n=10\) umliegende Kreise ergibt sich als Fläche demnach genau die doppelte Fläche des Grundkreises.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Bekell,

2020-03-11 16:16 - Diophant in Beitrag No. 14 schreibt:
Ich kann es zwar (noch) nicht begründen, aber laut CAS gibt es in der Hinsicht noch eine weitere Lösung. Für \(n=10\) umliegende Kreise ergibt sich als Fläche demnach genau die doppelte Fläche des Grundkreises.

mittlerweile habe ich die Zeit dazu gefunden, es ist auch gar nicht so schwierig.

Für \(n=10\) hat jedes deiner Tortenstücke einen Winkel von \(36^{°}\). Da in den Sinus der halbe Winkel eingeht, benötigen wir \(\sin\left(18^{°}\right)\) exakt. Diesen Sinuswert kann man mit ein paar Tricks und der Kenntnis des Goldenen Schnitts am Fünfeck exakt berechnen zu

\[\sin\left(18^{°}\right)=\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)\]
Wenn man damit in die Formel für den Radius eingeht, erhält man (für \(R=1\))

\[\ba
r_{10}&=\frac{\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)}{1-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)}\\
\\
&=\frac{\sqrt{5}-1}{5-\sqrt{5}}\\
\\
&=\frac{1}{20}\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)\cdot\left(\sqrt{5}+5\right)\\
\\
&=\frac{\sqrt{5}}{5}
\ea\]
Damit gehen wir in die Formel für die Fläche ein:

\[A_{10}=10\cdot\pi\cdot\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2=2\pi\]
Also wie vermutet exakt das Doppelte des inneren Kreises.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-11


Kannst Du mal so die beiden Radien angeben. Wenn der große Kreis Fläche Pi hat, dann er Radius 1, und der Kleine kreis, von denn 10 die Fläche 2 pi haben, hat den Radius ....?

Ich weiß nur, daß sich die Flächen von  Um- und Inkreis eines Quadrates wie 1:2 verhalten.    


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-03-11 19:28 - Bekell in Beitrag No. 16 schreibt:
Kannst Du mal so die beiden Radien angeben....

Habe ich doch oben gemacht:

  • Radius großer Kreis: \(R=1\)

  • Radius der 10 kleinen Kreise: \(r=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447\)

    Oder eben entsprechende Vielfache davon.


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    Bekell
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    Dann sind 5 von den Kleineren die Fläche Pi, aber sie schließen nicht.


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    Caban
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-03-11


    Hallo

    Ich bin der Meinung, dass es keine Lösung geben kann..


    fed-Code einblenden


    Gruß Caban



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    haegar90
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-03-11


    Anscheinend ist es mit einem Quadrat auch nicht möglich den gleichen Flächeninhalt zu bekommen.
    Zumindest komme ich nicht näher als 96% mit $n=24$ oder eben 101,939% mit $n=23$
    Mit $a$ als Seitenlänge des inneren Quadrates
    und mit $b$ als Seitenlänge der kleineren äußeren Quadrate.

    23 fällt sowieso raus da nicht durch $(2b+2(b+2))$ teilbar.


    -----------------
    Gruß haegar



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    Bekell
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    Hallo Diophant,

    könnte man den Radius des kleinen Kreises irgendwo aus der Konstruktion entnehmen?

    Das schöne an diesen ganzzahligen Lösungen ist, man kann die krumme Restfläche immer genau bestimmen. Wenn von deine 10 Kreisen nun drei im großen Kreis versammelt sind, ist der übrigbleibende Querschnitt immer 2/5.  


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    Diophant
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    Hallo,

    2020-03-12 10:12 - Bekell in Beitrag No. 21 schreibt:
    könnte man den Radius des kleinen Kreises irgendwo aus der Konstruktion entnehmen?

    Ich möchte jetzt nicht sagen, dass das unmöglich ist. Es geht hier (wenn man die Mittelpunkte der kleinen Kreise betrachtet) um ein regelmäßiges 10-Eck. Das kann man bekanntlich exakt konstruieren, also wird man auch irgendwie auf das Verhältnis zwischen der Länge der Seiten und der Radien vom Zentrum bis zu den Ecken kommen können.

    Das dürfte jedoch eher kompliziert sein, so dass mir meine Herangehensweise über die Ermittlung des algebraischen! Sinuswertes wesentlich einfacher erscheint.

    Und um ehrlich zu sein: anders habe ich es auch gar nicht erst versucht. Wie gesagt: wenn du da auf geometrischem Weg herangehen möchtest, dann ermittle \(\sin(18^{\circ})\) auf diese Weise. Das geht bspw. am Fünfeck und ist hier sozusagen mindestens die halbe Miete.


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    Caban
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    Für den allgemeinen Fall bekomme ich jetzt auch 10.

    Gruß Caban

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]



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