Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmässige Konvergenz Funktionenreihe
Autor
Universität/Hochschule Gleichmässige Konvergenz Funktionenreihe
raede
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 133
  Themenstart: 2020-03-16

Hallo zusammen Ich versuche zu zeigen, dass folgende Funktionenreihe nicht gleichmässig konvergiert. \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\). Ich betrachte zunächst den punktweisen Limes der Folge \(f_N = \sum \limits_{n=1}^{N}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\). Nun: \(\lim \limits_{N \to \infty} f_N(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}= f(x)\). Nun überprüfe ich \(f_N(x)\) auf gleichmässige Konvergenz bzw. will ich zeigen, dass: \(\lim \limits_{N \to \infty} sup |f_N(x) - f(x)| \neq 0 \), was dann die nicht-gleichmässige Konvergenz beweisen würde. Das heisst, ich berechne zuerst das Supremum: \(sup |f_N(x) - f(x)| = sup |\sum \limits_{n=1}^{N}\frac{x^2}{(1+x^2)^n} - \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}|\) Das entspricht: \(sup |\sum \limits_{n=N+1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}| = sup x^2 |\sum \limits_{n=N+1}^{\infty}(\frac{1}{1+x^2})^n|\). Stimmen meine Schritte bisher? Weil bei weiterer Umformung und dem Gebrauch der geometrischen Reihe komme ich darauf, dass der lim sup der Funktionenreihe 0 ist, was ja heissen würde, dass dies gleichmässig konvergiert. Gem. Aufgabenstellung dürfte sie das nicht.


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1238
  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo raede, nehmen wir uns deinen letzten Ausdruck vor, $\sup \left\vert x^2\sum_{k=N+1}^\infty \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n\right\vert$. Den können wir umschreiben zu \[\sup\left\vert\frac{x^2}{(1+x^2)^{N+1}}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(1+x^2)^k}\right\vert=\sup\left\vert\frac{x^2}{(1+x^2)^{N+1}}\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}\right\vert=\sup\left\vert\frac{1}{(1+x^2)^N}\right\vert=1\] Dabei ist zwar zu beachten, dass diese Umformung nur für $x\neq0$ gilt, da die darin auftauchende geometrische Reihe für $x=0$ divergiert, aber das Supremum bleibt davon unberührt. Jedenfalls ist das gesuchte Supremum 1, konvergiert also nicht gegen 0. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


   Profil
raede
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.10.2019
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-16

Ich habe meinen Fehler gefunden, kann aber noch nicht nachvollziehen, warum das Supremum 1 bleibt. Bzw. ist es ja 1 nur wenn x=0 ist, jedoch darf ich x=0 nicht nehmen. Warum wird das nicht beinflusst?


   Profil
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1238
  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Es handelt sich ja um ein Supremum, nicht um ein Maximum. Ein Supremum muss nicht tatsächlich angenommen werden. Jeder Wert in $(0,1)$ wird angenommen, das Supremum ist dann 1.\(\endgroup\)


   Profil
raede hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
raede wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]