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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Beweis mit Vektoren: Summe der Teildiagonalen im Parallelogramm ergeben null
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Kein bestimmter Bereich Beweis mit Vektoren: Summe der Teildiagonalen im Parallelogramm ergeben null
NumeruS
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-18 08:37


Hallo an die Experten,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe, die man mit Hilfe von Vektoren beweisen soll.

In einem Viereck ist P der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms (ABCD), das aus den Verbindungen der Seitenmitten des Vierecks gebildet wird.

Man soll zeigen, dass dann gilt: fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Die Voraussetzung ist, da es sich um ein Parallelogram handelt:
fed-Code einblenden
Aus der Voraussetzung und der Tatsache, dass sich die Diagonalen im Parallelogram halbieren, ergibt sich für mich der Beweisgang so:

(1) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Wenn ich jetzt die Gleichungen (1) bis (4) addiere ergibt sich die Behauptung.
Ist das eine “legale” Beweisführung oder benutze ich illegalerweise die Behauptung für die Beweisführung?

Vielen Dank im Voraus für eure Kommentare.
NumeruS



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3081
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-18 09:17


Hallo und willkommen hier im Forum!

Wenn die Tatsache, dass die vier Seitenmitten eines ebenen Vierecks ein Parallelogramm bilden, schon verwendet werden darf, dann ist das alles völlig in Ordnung. Der einzige Sachverhalt, den du hier benutzt, ist die Tatsache, dass sich im Parallelogramm die Diagonalen halbieren. Das darf aber sicherlich als bekannt vorausgesetzt werden.

Bist du dir aber sicher, dass das ganze nicht über die Eckpunkte des ursprünglichen beliebigen Vierecks gemacht werden soll?


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46059
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-18 13:43


Hi NumeruS,
es ist nicht vorausgesetzt, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
Nur die Seitenmitten bilden ein Parallelogramm.
P ist übrigens der Schwerpunkt des Vierecks.
Gruß Buri



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3081
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-18 13:46


@Buri:
ich verstehe das oben so, dass A, B, C und D schon die Namen der Seitenmitten sind und nicht die der Ecken des beliebigen Vierecks. Gewundert hat es mich allerdings ja auch.


Gruß, Diophant



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46059
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-18 13:54


Hi Diophant,
es muss so gemeint sein, dass A, B, C, D die Ecken des ursprünglichen Vierecks sind. Mit den Seitenmitten (wie es tatsächlich formuliert ist) wäre es auch richtig, aber dann wäre die Aufgabe zu leicht.
@NumeruS Hast du die Aufgabe im Original-Wortlaut wiedergegeben?
Gruß Buri



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27031
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-18 14:35


Es steht doch ganz klar da, daß ABCD das Seitenmittenverbindungsparallelogramm😁 ist:
2020-03-18 08:37 - NumeruS im Themenstart schreibt:
[...] des Parallelogramms (ABCD), das aus den Verbindungen der Seitenmitten des Vierecks gebildet wird.
[...]

Und wenn $P$ $AC$ halbiert, dann ist doch klar, daß $\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PC}$ ist.


-----------------
Bild



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46059
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-18 15:02


2020-03-18 14:35 - viertel in Beitrag No. 5 schreibt:
... wenn $P$ $AC$ halbiert, dann ist doch klar, daß $\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PC}$ ist.
Hi viertel,
das ist schon klar, aber wie ich schon sagte, wäre die Aufgabe dann zu einfach. Daher auch meine Rückfrage , ob es sich um den Originaltext der Aufgabe handelt.
Gruß Buri



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NumeruS
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20 05:10


Hallo und herzlichen Dank für Eure Beiträge,

meine Fragestellung ist tatsächlich nicht der exakte  Wortlaut der Aufgabe.
Da ich neu im Forum bin und mit der Software zum Erstellen der Beiträge noch nicht so fit bin und keine Grafik einfügen kann, habe ich das Parallelogramm mit ABCD bezeichnet, um einen nicht vorhandene Skizze anzudeuten.

Der Wortlaut der Aufgabe ist folgender:

Ist P der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms, dessen Ecken die Seitenmitten eines ebenen oder räumlichen Vierecks sind, so gilt die genannte Behauptung.

Wahrscheinlich geht der Beweis tatsächlich über die Eckpunkte des Vierecks, was die ganze Aufgabe erschwert. (Deshalb auch mein Beitrag mit Bitte um Hilfe). Danke



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3081
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-20 07:13


Hallo Numerus,

für den Fall ermittle zunächst die beiden Seitenmitten mittels Vektoren und gehe dann so vor, wie in Beitrag #5 geraten würde.


Gruß, Diophant



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46059
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-20 15:41


2020-03-20 05:10 - NumeruS in Beitrag No. 7 schreibt:
... so gilt die genannte Behauptung.
Hi NumeruS,
das kann nicht der Original-Wortlaut sein. Ich vermisse die Feststellung, um was für Punkte es sich bei A, B, C, D handelt.
Gruß Buri



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NumeruS
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-21 12:27


Hallo Buri,

das ist tatsächlich der Wortlaut der Aufgabe. Es wird nicht genau definiert, welches die Punkte ABCD sind. In meinem ersten Beitrag habe ich u.U. fälschlicherweise angenommen, dass es sich um die Eckpunkte des Parallelogramms handelt; aber dann wäre die Aufgabe wohl wirklich zu einfach.
Hättest du vielleicht einen Tip, wie ich vorgehen könnte, falls ABCD die Eckpunkte des ursprünglichen Vierecks sind? Du erwähntest bereits, dass P der Schwerpunkt des Vierecks ist. Danke!
NumeruS



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27031
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-21 12:31


NumeruS schreibt:
In einem Viereck ist P der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms (ABCD), das aus den Verbindungen der Seitenmitten des Vierecks gebildet wird.

Es wäre wirklich hilfreich, den kompletten(!) exakten(!) Wortlaut der Aufgabe hier zu haben. Und keine Eigeninterpretation.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3081
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-21 14:28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo NumeruS,

ich habe jetzt eine ganze Weile über einem möglichen Sinn dieser Aufgabe gebrütet. Ich glaube, ich war dabei erfolgreich.

Die Eckpunkte dieses Vierecks haben in der Tat (pro forma) die Namen A, B, C und D. Für die weitere Rechnung benötigen wir diese jedoch nicht.

Setze o.B.d.A. etwa A in den Ursprung und bezeichne die vier Seiten (alle im gleichen Umlaufsinn) mit \(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c},\ \vec{d}\).

Was weißt du dann zunächst von vornherein über die Summe \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\)?

Jetzt drücke die Koordinaten von P sowie die Vektoren von den Eckpunkten zu P mittels dieser Kantenvektoren aus, bilde die zu untersuchende Summe und verwende die Erkenntnis, dass \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\) gleich ... ist.

Bei der Berechnung von P darf man dabei selbstverständlich (und laut Aufgabenstellung) auf den Sachverhalt zurückgreifen, dass die vier Seitenmitten ein Parallelogramm bilden. Und damit natürlich auf die geometrischen Eigenschaften von Parallelogrammen, insbesondere deren Diagonalen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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NumeruS
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Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-26 09:28


Hallo und danke Diophant,

ich habe deine Tipps befolgt und gleichzeitig eine Skizze zur Aufgabe erstellt.



Unter Verwendung der Eigenschaften im Parallelogramms folgt daraus:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Die Addition der vier Gleichungen ergib:
fed-Code einblenden
Unter Verwendung der geschlossenen Vektorkette: fed-Code einblenden
bekomme ich die Behauptung:
fed-Code einblenden
(was eigentlich doch nicht so schwierig war)



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3081
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-03-26 10:01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo NumeruS,

ja, das ist jetzt elegant gelöst. Vielleicht drückst du als Randbemerkung noch die Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) durch die Kantenvektoren aus.

Aber da man die Eigenschaften von Parallelogrammen laut Aufgabenstellung ja verwenden darf, hätte dies Hinweischarakter und wäre der besseren Verständlichkeit dienlich.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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NumeruS
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.01.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28 10:21


Wie aus der Skizze zu entnehmen ist, können die Teildiagonalen ( fed-Code einblenden und fed-Code einblenden ) des Parallelogramms wie folgt durch die Kantenvektoren fed-Code einblenden ausgedrückt werden:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 3081
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-03-28 10:43

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo NumeruS,

deine Vorzeichen/Klammer-Jonglage kann ich hier nicht ganz nachvollziehen.

Es reicht ja der Hinweis

\[\ba
\vec{v}&=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\\
\\
\vec{w}&=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}
\ea\]
wobei wie gesagt diese Darstellung nicht notwendig ist für den Fall, dass man alle Eigenschaften von Parallelogrammen verwenden darf. Und so verstehe ich die Aufgabe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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