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Mathematik » Numerik & Optimierung » Lineare Optimierung: Betrag auflösen
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Kein bestimmter Bereich Lineare Optimierung: Betrag auflösen
matheerfolg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-20


Hallo,
habe hier ein Beispiel bei dem ich etwas hänge. Wie man dieses löst ist mir klar, aber wie man den Betrag auflöst ist mir gänzlich unklar.

Beispiel
ZF: 2x1+3|x2−10|→min!

unter der Bedingung |x1+2|+|x2|≤5



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-20


2020-03-20 10:39 - matheerfolg im Themenstart schreibt:
ZF: 2x1+3|x2−10|→min!

unter der Bedingung |x1+2|+|x2|≤5

Zunächst willkommen auf dem Matheplaneten!

Ich habe jetzt mein Auge nur ein paar Sekunden über der Aufgabe schweifen lassen, was ich also nachfolgend dazu sage, ist mit entsprechender Vorsicht zu genießen.

Zunächst würde ich aus der einen Nebenbedingung $|x_1+2|+|x_2|\le 5$ vier Nebenbedingungen machen, welche hier alle erfüllt sein müssen, indem ich alle 4 möglichen Vorzeichen in $\pm(x_1+2)\pm x_2\le 5$ berücksichtige. Das sollte dann eigentlich graphisch das Innere+Rand eines (gedrehten) Quadrats ergeben. Danach würde ich ähnlich zwei Zielfunktionen mit dem 2 Vorzeichen in $2x_1\pm(x_2-10)$ aufstellen und die Aufgabe mit jeder der beiden getrennt durchrechnen, d.h., man hat dann eigentlich zwei Optimierungsaufgaben zu lösen. Zum Schluss sollte man dann natürlich noch alle Rechenergebnisse noch vergleichen, insbesondere um zu sehen was davon Sinn macht, um so auf das wahre Minimum hier zu kommen.



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matheerfolg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20


Vielen Dank für die rasche Antwort. Die Antwort hilft mir sehr! Allerdings habe ich noch zwei Fragen. Die Nebenbedingung soll also so ausschauen : (x1+2)+x2≤5, (-x1-2)+x2≤5, (x1+2)-x2≤5, (-x1-2)-x2≤5 ?
Und wenn ich zwei Zielfunktionen habe. Soll jede Zielfunktion mit den 4 Nebenbedingungen errechnet werden? Und was dann? Muss ich dann beide Lösungen zusammenführen? Falls ja, wie?

Danke!



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-20


Ja, so ist es gemeint. 🙂

Da die Lösung hier jedenfalls eindeutig ist (warum?), kommen von vornherein nur die 4 Eckpunkte des Quadrats in Frage (warum?). Wenn man also

1. über genügend Hausverstand verfügt, um das zu erkennen 😁
2. keine Lust hat, lange herumzurechnen 😒

könnte man also hier einfach nur diese auf die Minimumseigenschaft überprüfen. Ich persönlich wäre mit dieser Vorgangsweise durchaus einverstanden, sofern sie jemand ausreichend begründen kann.



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matheerfolg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20


Alles klar, danke nochmal :)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-21


2020-03-20 11:33 - weird in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-03-20 10:39 - matheerfolg im Themenstart schreibt:
\(\min z = 2x_1+3|x_2−10|\)
unter der Bedingung \(|x_1+2|+|x_2|\le5\)

Danach würde ich ähnlich zwei Zielfunktionen mit dem 2 Vorzeichen in $2x_1\pm(x_2-10)$ aufstellen und die Aufgabe mit jeder der beiden getrennt durchrechnen, d.h., man hat dann eigentlich zwei Optimierungsaufgaben zu lösen. Zum Schluss sollte man dann natürlich noch alle Rechenergebnisse noch vergleichen.

Es genügt, eine einzige Aufgabe zu lösen; dann braucht man auch nichts zu vergleichen:
\[
\min z = 2x_1 + x_3 \\
x_3\ge\pm(x_2-10)\\
\pm(x_1+2) \pm x_2 \le5
\] (Falls wir anderseits nach \(\max z\) suchen würden, kämen wir freilich nicht darum herum, zwei Aufgaben zu lösen)


-----------------
/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-21


Ich denke, man kann es auch so sehen, dass man für jede der beiden Zielfunktionen
\[z=2x_1\pm3|x_2-10|=\text{min!}\] jeweils noch eine weitere Nebenbedingung dazunehmen muss, nämlich
\[x_2\ge 10\quad \textrm{bzw.}\quad x_2\le 10\] Wegen
\[|x_1+2|+|x_2|\le 5\Rightarrow x_2\le 10\] ist aber nur die zweite hier erfüllbar, d.h., es genügt den Fall mit der Zielfunktion $z=2x_1-(x_2-10)=\text{min!}$ zusammen mit den 4 Nebenbedingungen $\pm(x_1+2)\pm x_2\le 5$ zu betrachten.



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