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Analysis » Funktionen » Approximation für Logarithmen
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Kein bestimmter Bereich Approximation für Logarithmen
MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-22


Bei meiner Knobelaufgabe hatte ich folgende (bekannte) Ungleichung wiedergefunden xD
\(1-\frac{1}{x} \leq \ln(x) \leq x - 1\)

Daraus hab ich mir eine Annäherung für die Berechnung von Logarithmen entwickelt... wollte wissen was ihr davon haltet. Das geometrische Mittel beider Grenzen hab ich dabei für eine gute Näherung gehalten:
\(\ln(x) \approx \frac{x-1}{\sqrt{x}}\)

Nur in der Umgebung von 1 sollte diese gut sein, daher meine Idee in dieser Umgebung:
\(z = x \cdot e^n; \frac{1}{\sqrt{e}} \leq x \leq \sqrt{e}; n \in \IZ\\
\to \ln(z) = n + \ln(x) \approx n  + \frac{x-1}{\sqrt{x}}\)


Diese Zerlegung von z aber nicht so praktisch mit unserem Dezimalsystem, daher dieselbe Idee für den dekadischen Logarithmus mit:
\(\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \approx \frac{x-1}{\sqrt{z} \cdot \ln(10)}\)

Jetzt angewendet:
\(z = x \cdot 10^n; \frac{1}{\sqrt{10}} \leq x \leq \sqrt{10}; n \in \IZ\\
\to \log_{10}(z) = n + \log_{10}(x) \approx n  + \frac{x-1}{\sqrt{x} \cdot \ln(10)}\)


Damit kann man jetzt alle Logarithmen ungefähr berechnen, mit:
\(\log_a(z) = \frac{\log_{10}(z)}{\log_{10}(a)}\)
Und dann jeweils den ungefähren Wert ermitteln.

Aber interessanter ist ja meist der natürliche Logarithmus:
\(\ln(z) = \log_{10}(z) \cdot \ln(10) \approx n \cdot \ln{10} + \frac{x-1}{\sqrt{x}}\)


Aus der Kettenbruchentwicklung kann man dann noch passende Werte für \(\sqrt{10}\) und \(\ln(10)\) angeben, etwa:
\(\frac{228}{721} \leq x \leq \frac{2280}{721}\)
(oder \(0.316228 \leq x \leq 3.16228\))

Und damit:
\(\ln(z) \approx n \cdot \ln{10} + \frac{x-1}{\sqrt{x}} \approx n \cdot \frac{175}{76} + \frac{x-1}{\sqrt{x}}\)


Bsp:
\(\ln(902) \approx 3 \cdot \frac{175}{76} + \frac{0.902-1}{\sqrt{0.902}} \approx 6.8047\\
\ln(279) \approx 2 \cdot \frac{175}{76} + \frac{2.79-1}{\sqrt{2.79}} \approx 5.6769\)

Findet ihr diese Idee gut?



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willyengland
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2016
Mitteilungen: 233
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-23


Frage 1: Was ist n?
Frage 2: Wie hilft mir das konkret? Im Kopf kann ich das auch nicht rechnen. Zumindest nicht die Wurzel.



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