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Kein bestimmter Bereich Affine Transformation eines Intervalls
EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-25


Es sei gegeben \(p_k(t)=\prod_{i=1}^{n}(1-a_it),\ a_i\in\mathbb{R}\).

Der Ausdruck \(\xi = \max_{t\in[\alpha,\beta]} |p_k(t)|\) soll auf eine Form gebracht werden, dass der Parameter \(t\) im Intervall \([-1,1]\) gesucht werden kann.

Dazu definiere eine Bijektion \(\varphi\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, t\mapsto \frac{2t-(\beta + \alpha)}{\beta-\alpha}\). Diese affine Transformation bildet \([\alpha,\beta]\) auf das Interval \([-1,1]\) ab.

Gesucht ist jetzt eine Darstellung von \(\xi\) als das Polynom \(p'_k=p_k\circ\varphi^{-1}\) anstelle von \(p_k\).

Dazu invertiere berechne ich \(\varphi^{-1} = y((\beta-\alpha) + \beta + \alpha)/2)\) und erhalte ganz einfach
\[\max_{y\in[-1,1]} |p_k((y(\beta-\alpha) + \beta + \alpha)/2))|\]
Irgendwie kann es das aber nicht so ganz gewesen sein, die Aufgabe erscheint mir viel zu einfach. Deswegen die Fragen:

Ist die Vorgehensweise überhaupt richtig?
Kann man die Darstellung noch irgendwie vereinfachen zb. mittels direktem Einsetzen von der Inversen in das Polynom, also \(\prod_{i=1}^n(1-a_i(\varphi^{-1}(y)))\)?



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