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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verstehen, wie man eine der Bedingungen eines Artikels anwendet
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Kein bestimmter Bereich Verstehen, wie man eine der Bedingungen eines Artikels anwendet
BieneMaja
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-26


Hallo,

um meine Frage zu beantworten, braucht man die Details des Artikels nicht völlig zu verstehen, also bitte nicht davon abschrecken lassen, wenn nicht alles bei dieser Fragestellung verständlich ist oder wenn es um ein Theorem geht, von dem Du noch nicht gehört hast: eine Generalisierung von Wilks´ Theorem.

Es wird eine Aussage (welche ist für die Frage nebensächlich) über die log-Likelihood-Quotienten-Statistik $W(\theta) = l(\hat{\theta}) - l(\theta)$ getroffen, wobei $\theta$ ein Vektor von unbekannten Parametern ist, $l$ die log-Likelihood-Funktion und $\hat{\theta}$ der MLE (= Maximum-Likelihood-Schätzer).

Die Anwendung des Theorems auf eine einfache Nullhypothese erfordert bestimmte Bedingungen über die log-Likelihood-Quotienten-Statistik $W(\theta) = l(\hat{\theta}) - l(\theta)$.

Einige der Bedingungen beinhalten die Existenz einer Funktion $h$, die bestimmte Eigenschaften erfüllt - eine davon ist:


$$\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \sup_{\lVert \hat{\theta} - \theta \rVert \leq \delta} \left|\frac{\frac{2}{n} W(\theta) - h(\theta - \hat{\theta})}{h(\theta - \hat{\theta})}\right| = 0. \tag{$*$}$$
Das klassische Wilks Theorem wird unter Bedingungen hergeleitet, die implizieren, dass die Funktion $h$ gegeben ist durch $h(\theta) = \theta^T \Sigma \theta$, wobei hier nebensächlich ist, was $\Sigma$ ist (es sei dennoch erwähnt, dass es die Fisher-Informationsmatrix beim wahren zugrundeliegenden Parameter ist).

Um ein analoges Theorem für eine zusammengesetzte Nullhypothese herzuleiten, wird der Parameter-Vektor in zwei Teile zerlegt $\zeta = (\theta^T, \lambda^T)^T$. Die log-Likelihood-Quotienten-Statistik, über die man die Aussage treffen möchte, ist dann $W_1$, für welche unter der Nullhypothese, dass $\theta = \theta_0$, gilt

$$W_1(\theta_0) = l(\hat{\theta},\hat{\lambda}) - l(\theta_0, \hat{\lambda}_{\theta_0})$$
wobei $\hat{\lambda}_{\theta_0}$ der MLE unter der Nullhypothese, dass $\theta = \theta_0$, ist.

Um die Aussage über $W_1$ zu treffen, müssen die zuvor erwähnten Bedingungen für $W$ und $W_2$ geprüft werden, wobei $W(\theta,\lambda) = l(\hat{\theta}, \hat{\lambda}) - l(\theta,\lambda)$ und $W_2(\theta, \lambda) = l(\theta,\hat{\lambda}_{\theta}) - l(\theta, \lambda)$.

Meine Frage: Wenn ich prüfen möchte, ob das klassische Wilks Theorem auf ein bestimmtes Modell mit einer zusammengesetzten Nullhypothese angewandt werden kann, muss ich die Bedingung ($*$) für $W$ und $W_2$ mit der Funktion $h(\theta) = \theta^T \Sigma \theta$ überprüfen oder müsste es eine andere Funktion $h$ sein?

Es könnte hilfreich sein zu bemerken, dass $W$ zu $W(\theta,\lambda) = W_1(\theta) + W_2(\theta,\lambda)$ zerlegt werden kann.

Artikel: J. Fan et al., Geometric Understanding of Likelihood Ratio Statistics,  Journal of the American Statistical Association, 95, S. 836-841, 2000

Über jegliche Hilfsversuche wäre ich wirklich sehr dankbar!



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