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Strukturen und Algebra » Polynome » Körpererweiterung Produkt von Polynomen
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Universität/Hochschule Körpererweiterung Produkt von Polynomen
Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-26 12:21


Moin, Leute


Habe mit einer (vermutlich nicht so schwierigen Aufgabe) etwas zu kämpfen und hoffe, dass mir jemand da draußen Tipps geben kann 😁


Aufgabe:


Seien $L/K$ eine Körpererweiterung und seien $f, g \in K[t]$.

Gibt es ein $h \in L[t]$ mit $f = g \cdot h$, so gilt schon $h \in K[t]$.


Mein Ansatz:

Seien $f, g \in K[t]$, wobei $f = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot t^{k}$ und $g = \sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot t^{k}$ mit $a_{k}, b_{k} \in K$.

Nach Voraussetzung existiert ein Polynom $h \in L[t]$ mit $f = g \cdot h$, wobei $h = \sum\limits_{k = 0}^{n} q_{k} \cdot t^{k}$ mit $q_{k} \in L$.


Wir haben also $\sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot t^{k} = \sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot t^{k} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n} q_{k} \cdot t^{k}$, wobei $a_{i}, b_{i} \in K$ und $q_{k} \in L$.



Meine Idee wäre nun, die Koeffizienten des Polynoms $\sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot t^{k} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n} q_{k} \cdot t^{k}$ zu betrachten, um dann festzustellen, dass die Koeffizienten aus $K$ sind.


Reicht die Idee schon aus ?

Mein Problem hierbei ist, dass ich nicht weiß, wie ich das Produkt $\sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot t^{k} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n} q_{k} \cdot t^{k}$ berechnen kann, bzw. wie ich das Produkt als Summe schreiben kann.



Freue mich, wenn jemand Lust und Zeit hat, mir zu helfen.

Schönen Tag noch,


Benni






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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-26 13:08


Die Frage, die sich hier mir aufdrängt ist: Warum führst du nicht einfach im Geiste eine Polynomdivision f/g hier durch. Oder probier das einfach mal mit konkreten Polynomen f,g z.B. in $\mathbb Q[t]$ durch um festzustellen, dass du dabei an keiner Stelle beim ausdividieren aus $\mathbb Q$ (oder allgemein aus deinem Grundkörper $K$) herauskommst was die Koeffizienten des Ergebnispolynoms, also hier $h$ betrifft.



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-26 17:23


2020-03-26 13:08 - weird in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Frage, die sich hier mir aufdrängt ist: Warum führst du nicht einfach im Geiste eine Polynomdivision f/g hier durch. Oder probier das einfach mal mit konkreten Polynomen f,g z.B. in $\mathbb Q[t]$ durch um festzustellen, dass du dabei an keiner Stelle beim ausdividieren aus $\mathbb Q$ (oder allgemein aus deinem Grundkörper $K$) herauskommst was die Koeffizienten des Ergebnispolynoms, also hier $h$ betrifft.

Vielleicht irre ich mich, aber nimmst du hier schon nicht an, dass g das f in K[X] teilt? Wir haben ja nur die Teilbarkeit in L[X] gegeben.
Edit: Hmm, ich verstehe vielleicht deine Idee, die finde ich aber nicht einfach umsetzbar.

@Benni97: Deine Idee führt auf jeden Fall zum Ziel. Hast du noch nie die Formel für die Koeffizienten des Produkt zweier Polynome gesehen? Wenn nicht, kannst du sie leicht herleiten, versuche Schritt für Schritt die Koeffizienten von X^k für k=0,1,2,... herauszufinden, du wirst ein Muster erkennen. Von da an ist es bloß noch wenig Argumentieren.




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-26 20:33


2020-03-26 17:23 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:
Vielleicht irre ich mich, aber nimmst du hier schon nicht an, dass g das f in K[X] teilt? Wir haben ja nur die Teilbarkeit in L[X] gegeben.
Edit: Hmm, ich verstehe vielleicht deine Idee, die finde ich aber nicht einfach umsetzbar.

Naja, die Division f/g wird natürlich schon $L[X]$ durchgeführt, wo sie ja ohne Rest ausgeht, aber es stellt sich heraus, dass man in deren Verlauf nur Rechnungen in $K[X]$ durchführt, die aus $K[X]$ nicht herausführen. Sei etwa
\[f=\sum\limits_{k=0}^n a_kX^k\in K[X]\quad  (a_n\ne 0)\] und
\[g=\sum\limits_{k=0}^m b_kX^k\in K[X]\quad (b_m\ne 0)\] wobei wir hier noch o.B.d.A. $n\ge m$ voraussetzen, so läuft die Division algorithmisch so ab, dass zu $h$ (mit dem anfänglichen Wert $h=0$) das Monom $a_nb_m^{-1}X^{n-m}\in K[X]$ addiert und dann mit dem neuen
\[f\leftarrow f-a_nb_m^{-1}X^{n-m}g\] dessen Grad um mindestens 1 gesunken ist, mutatis mutandis weitergemacht wird, bis irgendwann $f=0$ ist, da sich die Division ja wie gesagt ohne Rest "ausgehen" muss, wobei am Ende $h\in K[X]$ dasteht. Für einen sauberen induktiven Beweis müsste man halt die einzelnen Schritte dieses Algorithmus jetzt nur noch etwas genauer anschreiben.



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-26 23:34



2020-03-26 13:08 - weird in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Frage, die sich hier mir aufdrängt ist: Warum führst du nicht einfach im Geiste eine Polynomdivision f/g hier durch. Oder probier das einfach mal mit konkreten Polynomen f,g z.B. in $\mathbb Q[t]$ durch um festzustellen, dass du dabei an keiner Stelle beim ausdividieren aus $\mathbb Q$ (oder allgemein aus deinem Grundkörper $K$) herauskommst was die Koeffizienten des Ergebnispolynoms, also hier $h$ betrifft.

Hallo, herzlichen Dank für den Tipp! :) Der Ansatz scheint für mich aber noch etwas kompliziert (auch nach deiner zweiten Antwort). Ich muss mich damit morgen beschäftigen, weil ich dann einen klaren Kopf habe.


Ich probiere davor noch den naiven Ansatz.

2020-03-26 17:23 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:


@Benni97: Deine Idee führt auf jeden Fall zum Ziel. Hast du noch nie die Formel für die Koeffizienten des Produkt zweier Polynome gesehen? Wenn nicht, kannst du sie leicht herleiten, versuche Schritt für Schritt die Koeffizienten von X^k für k=0,1,2,... herauszufinden, du wirst ein Muster erkennen. Von da an ist es bloß noch wenig Argumentieren.



Auch dir danke ich für die Hilfe :) Ich glaube, ich habe einen Ausdruck für das Produkt zweier Summen gefunden.

Ich schreibe meinen Ansatz kurz neu mit Indizes auf, damit ich besser durchblicke.

Seien $g = \sum\limits_{k_{1} = 0}^{m_{1}}  g_{k_{1}} t^{k_{1}} \in K[t]$ und $h = \sum\limits_{k_{1} = 0}^{m_{1}} h_{k_{1}} t^{k_{1}} \in L[t]$


Nach Voraussetzung soll $f = g \cdot h = \sum\limits_{k_{1} = 0}^{m_{1}}  g_{k_{1}} t^{k_{1}} \cdot \sum\limits_{k_{1} = 0}^{m_{1}} h_{k_{1}} t^{k_{1}} = \sum\limits_{k_{3} = 0}^{m_{1} + m_{2}} \left ( \sum\limits_{k_{1} + k_{2} = k_{3}} g_{k_{1}} \cdot h_{k_{2}} \right ) t^{k_{3}} \in K[t]$ gelten.

Das heißt, dass die Koeffizienten $\sum\limits_{k_{1} + k_{2} = k_{3}} g_{k_{1}} \cdot h_{k_{2}} $ in $K$ enthalten sein müssen.



Passt das so bis jetzt ?


Nun weiß ich noch nicht so recht, wie ich sauber argumentieren muss.

Ich meine doch, dass wenn $h_{k_{2}} \in L$ und $g_{k_{1}} \in K$, dann muss das Produkt  $h_{k_{2}} \cdot g_{k_{1}}$ nicht unbedingt in $K$ liegen.

Das Argument ist aber noch nicht stichhaltig, da ich ja nicht wissen kann, ob es vielleicht doch nicht Polynome $h \in L[t]$ und $g \in K[t]$ gibt, so dass $g \cdot h \in K[t]$.


Wie könnte man da vorgehen ?


lg, Benni



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-26 23:58


@weird: Ah ok, im Endeffekt ist es glaube ich die gleiche Argumentation nur rückwärts.


Das heißt, dass die Koeffizienten $\sum\limits_{k_{1} + k_{2} = k_{3}} g_{k_{1}} \cdot h_{k_{2}} $ in $K$ enthalten sein müssen.


Nun weiß ich noch nicht so recht, wie ich sauber argumentieren muss.

Ich meine doch, dass wenn $h_{k_{2}} \in L$ und $g_{k_{1}} \in K$, dann muss das Produkt  $h_{k_{2}} \cdot g_{k_{1}}$ nicht unbedingt in $K$ liegen.

Genau das ist die richtige Formel Benni. Welche Zahlen durchläuft k_3 nochmal? Was passiert wenn k_3=0, wie sieht der Koeffizient aus, der in K liegen soll. Was können wir dann für k_3 =1 folgern? Was dann für k_3 = 2? Usw. :)



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 12:41


Hallo!



$k_{3}$ durch läuft die Zahlen von $0$ bis $m_{1} + m_{2}$.

Für $k_{3} = 0$ haben wir den Koeffizienten $g_{0} \cdot h_{0}$.

Für $k_{3} = 1$ haben wir $g_{0} \cdot h_{1} + g_{1} \cdot h_{0}$

Für $k_{3} = 2$ haben wir dann $g_{0} \cdot h_{2} + g_{1} \cdot h_{1} + g_{2} \cdot h_{0}$


Nach Voraussetzung soll $g_{0} \cdot h_{0}$ in $K$ liegen. Daraus folgt jetzt aber nicht unbedingt, dass auch $h_{0}$ in $K$ liegt, oder ?


Daraus kann ich leider noch nichts über den Koeffizienten für $k_{3} = 1$ folgern (Weil mir keine Idee einfällt).



Nach Voraussetzung soll $g_{0} \cdot h_{1} + g_{1} \cdot h_{0}$ in $K$ liegen.


Da gibt es 4 Möglichkeiten:

1) $g_{0} \cdot h_{1} \in K$ und $g_{1} \cdot h_{0} \in L$, aber die Summe ist wieder in $K$.

2) $g_{0} \cdot h_{1} \in L$ und $g_{1} \cdot h_{0} \in K$, aber die Summe ist wieder in $K$.

3) $g_{0} \cdot h_{1} \in L$ und $g_{1} \cdot h_{0} \in L$, aber die Summe ist in $K$.

4) $g_{0} \cdot h_{1} \in K$ und $g_{1} \cdot h_{0} \in K$ und die Summe ist logischerweise wieder in $K$.


Aber daraus kann ich z.B. wieder nichts über den Koeffizienten für $k_{3} = 2$ folgern🤔


Hättest du vielleicht noch einen Tipp für mich ?


lg,

Benni :)



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-27 13:56



$k_{3}$ durch läuft die Zahlen von $0$ bis $m_{1} + m_{2}$.

Für $k_{3} = 0$ haben wir den Koeffizienten $g_{0} \cdot h_{0}$.

Für $k_{3} = 1$ haben wir $g_{0} \cdot h_{1} + g_{1} \cdot h_{0}$

Für $k_{3} = 2$ haben wir dann $g_{0} \cdot h_{2} + g_{1} \cdot h_{1} + g_{2} \cdot h_{0}$


Nach Voraussetzung soll $g_{0} \cdot h_{0}$ in $K$ liegen. Daraus folgt jetzt aber nicht unbedingt, dass auch $h_{0}$ in $K$ liegt, oder ?

Ja genau hier ist der Knackpunkt. Was wenn \(g_0 \neq 0\), dann liegt doch \(g_0^{-1}\) in K und \(g_0 \cdot h_0\), dann deren Produkt auch (Körperaxiome). Jetzt gehst du genau so vor wie bei \(k_3=1\), hier wissen wir ja schon, dass \(h_0\) in K liegt. Dies führt man immer so fort. Du musst aber auch die Spezialfälle betrachten, wo \(g_0=0\) sein könnte. Hier lasse ich dich überlegen.



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 17:30




Ich denke,  ich habe es durch deinen Tipp hinbekommen😁 Allerdings nur für $g_{k_{1}} \neq 0$für $k_{1} = 0,1, \ldots, m_{1}$, weil ich bei den Spezialfällen, wie z.B. $g_{0} = 0$ oder $g_{4} = 0$ noch Schwierigkeiten habe.



Sei $g_{k_{1}} \neq 0$ für $k_{1} = 0,1, \ldots, m_{1}$.


Zu $k_{3} = 0$
_____________

Da $g_{0} \in K$ und $K$ ein Körper ist, existiert zu $g_{0}$ die Inverse $g_{0}^{ -1} \in K$.


Da nach Voraussetzung $g_{0} \cdot h_{0} \in K$ gilt und aus den Körperaxiomen $g_{0}^{- 1} \in K$ existiert, ist das Produkt $g_{0}^{- 1} \cdot g_{0} \cdot h_{0} = 1_{K} \cdot h_{0} = h_{0}$ auch in $K$.



Zu $k_{3} = 1$
_____________



Wir haben den Koeffizienten $g_{0} h_{1} + g_{1} h_{0}$.

Wir wissen nun, dass $h_{0} \in K$. Also gilt auch $g_{1} h_{0} \in K$.


Da nach Voraussetzung $g_{0} h_{1} + g_{1} h_{0}$ in $K$ enthalten ist, ist auch das Produkt $g_{0}^{- 1} \cdot (g_{0} h_{1} + g_{1} h_{0}) = h_{1} + g_{0}^{- 1}g_{1} h_{0}$ in $K$ enthalten.


Das Produkt $g_{0}^{- 1}g_{1} h_{0}$ ist trivialerweise in $K$. Also ist auch die additive Inverse $(g_{0}^{- 1}g_{1} h_{0})^{- 1}$ in $K$.


Damit ist die Differenz $ h_{1} + g_{0}^{- 1}g_{1} h_{0} - (g_{0}^{- 1}g_{1} h_{0})^{- 1} = h_{1}$ aufgrund der Abgeschlossenheit des Körpers auch in $K$.


Und so geht es weiter mit $k_{3} = 2, 3 \ldots, m_{1} + m_{2}$


Aber für $g = 0$ kann ich ja keine Aussage für $h_{0}$ machen und daher auch nicht für $h_{1}$ usw...


Wie kann man da vorgehen ?


Lg, Benni



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-27 17:43


Hi,
ja genau so geht man vor. Man muss nur zwei Fälle betrachten:
\(g_0 \neq 0\) und \(g_0 = 0\) (die anderen \(g_k\) sind nicht von Bedeutung).
Den ersten Fall hast du richtig behandelt. Im zweiten Fall: g ist ja dann durch X teilbar (da konstanter Term =0). Was kann man für f folgern? Was kann man dann in der Gleichung f=g*h machen? Versuche das auf den Fall zurück zu bringen, wo der konstante Term ungleich 0 ist.
Btw ist die Aufgabenstellung wirklich richtig so? Man könnte ja f=g=0 wählen und h dann beliebig in L[X]... Ich glaube dass gegeben sein muss, dass \(g\neq 0\), dann würde noch alles passen.



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29 14:50


Hallo! Sorry für die Verspätung, ich hatte gestern und vorgestern nicht viel Zeit🤔

2020-03-27 17:43 - Red_ in Beitrag No. 9 schreibt:
Hi,
ja genau so geht man vor. Man muss nur zwei Fälle betrachten:
\(g_0 \neq 0\) und \(g_0 = 0\) (die anderen \(g_k\) sind nicht von Bedeutung).
Den ersten Fall hast du richtig behandelt. Im zweiten Fall: g ist ja dann durch X teilbar (da konstanter Term =0). Was kann man für f folgern? Was kann man dann in der Gleichung f=g*h machen? Versuche das auf den Fall zurück zu bringen, wo der konstante Term ungleich 0 ist.



Warum sind die anderen $g_{k}$ nicht von Bedeutung ? Vielleicht verstehe ich das, wenn ich mit den Fall $g_{0} = 0$ fertig bin.

Also mir will immer noch keine Idee einfallen, wie ich den Fall $g_{0} = 0$ behandeln kann. Habe irgendwie eine Blockade im Kopf...



Wenn $g_{0} = 0$ gilt, gilt $\sum\limits_{k_{1} = 0}^{m_{1}} a_{k_{1}} \cdot t^{k_{1}} = \sum\limits_{k_{1} = 1}^{m_{1}} a_{k_{1}} \cdot t^{k_{1}} = t \cdot \left ( \sum\limits_{k_{1} = 1}^{m_{1}} a_{k_{1}} \cdot t^{k_{1} - 1} \right )$

Also hat $f$ die Form $f = t \cdot \left ( \sum\limits_{k_{1} = 1}^{m_{1}} a_{k_{1}} \cdot t^{k_{1} - 1} \right ) \cdot \sum\limits_{k_{2} = 0}^{m_{2}} a_{k_{2}} \cdot t^{k_{2}} =  \sum\limits_{k_{1} = 1}^{m_{1}} a_{k_{1}} \cdot t^{k_{1} - 1}  \cdot \sum\limits_{k_{2} = 0}^{m_{2}} a_{k_{2}} \cdot t^{k_{2} + 1} $


Das Polynom $f$ und das Polynom $t \cdot g = \sum\limits_{k_{2} = 0}^{m_{2}} a_{k_{2}} \cdot t^{k_{2} + 1}$ haben dann auf jeden Fall eine Nullstelle bei $ t = 0$.

Kann man damit vielleicht etwas anfangen ? Sonst stecke ich immer noch in der Klemme😖





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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29 14:54


2020-03-27 17:43 - Red_ in Beitrag No. 9 schreibt:

Btw ist die Aufgabenstellung wirklich richtig so? Man könnte ja f=g=0 wählen und h dann beliebig in L[X]... Ich glaube dass gegeben sein muss, dass \(g\neq 0\), dann würde noch alles passen.

Ja, das macht für mich auch keinen Sinn, aber ich habe die Aufgabe 1 zu 1 so abgetippt.

Vielleicht meint der Prof es auch so, aber schreibt es nicht hin. Ist nicht das erste Mal🤔



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