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Strukturen und Algebra » Ringe » Einsetzhomomorphismus
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Kein bestimmter Bereich J Einsetzhomomorphismus
Trikolonn
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-26 16:17


Hallo an alle :)

Habe mir gedacht, ich versuche es auch mal mit einem Forum, weil ich sonst selten einen Ansprechpartner habe, wenn ich irgendwo Probleme habe🙂


Ich bin dabei, ein paar Beweise aus unserer Algebra I - Vorlesung durchzugehen und oft ist von einem "Einsetzhomomorphismus" die Rede.
Da ich davon noch nicht gehört habe, möchte ich das nachholen.


Dazu habe ich im Skript folgende Aufgabe gefunden:




Aufgabe:


Es sei \(S\) ein kommutativer Ring mit Eins, \( R \subseteq S\) ein Unterring und \(b \in S\).


a) Wir definieren \(f(b) = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b^{k} \in S\) für \(f = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot t^{k} \in R[t]\).

Zeige, dass die Abbildung  \(\varphi_{b}: R[t] \rightarrow S, f \mapsto f(b)\) ein Ringhomomorphismus ist.

Wir nennen \(\varphi_{b}\) einen Einsetzhomomorphismus.



b) Ist $b $ Nullstelle des Polynoms $g = t^{n} + \alpha_{n - 1} \cdot t^{n - 1} + \ldots + \alpha_{1} \cdot t + \alpha_{0} \in R[t]$, $n \ge 1$, so ist

$Im(\varphi_{b}) =  \left \{ \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}  a_{k} \cdot b^{k} \; \vert \; a_{0}, \ldots, a_{n - 1} \in R \right \}$


Wir bezeichnen diesen Unterring von $S$ mit $R[b] = Im(\varphi_{b})$






Allerdings habe ich schon etwas Schwierigkeiten die a) zu beweisen.

Man muss eigentlich nur 3 Eigenschaften nachweisen:



1)$\varphi_{b}(f + g) = \varphi_{b}(f) + \varphi_{b}(g) $

2) $\varphi_{b}(f \cdot g) = \varphi_{b}(f) \cdot \varphi_{b}(g) $

3) $\varphi_{b}(1_{R[t]}) = 1_{S} $





Die 1) habe ich so gelöst:

Seien $f = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot t^{k}$ und $f = \sum\limits_{k = 0}^{n} c_{k} \cdot t^{k}$ aus $R[t]$.


Dann

$\varphi_{b}(f + g) = (f + g)(b) = \left ( \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot t^{k} + \sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot t^{k}  \right ) (b) = \left ( \sum\limits_{k = 0}^{n} (a_{k} + c_{k}) \cdot t^{k} \right ) (b) $

$= \sum\limits_{k = 0}^{n} (a_{k} + c_{k}) \cdot b^{k}  =  \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b^{k} + \sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot b^{k} = f(b) + g(b) = \varphi_{b}(f) + \varphi_{b}(g)$


Die 2) bereitet mir eher Probleme



$\varphi_{b}(f \cdot g) = (f \cdot g)(b) = \left ( \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot t^{k} \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n} b_{k} \cdot t^{k}  \right ) (b) $

Ab hier komme ich nicht weiter.


Wäre für einen oder zwei Tipps sehr dankbar.




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-26 17:17

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Hallo Trikolonn, Willkommen auf dem Matheplaneten!

Zuerst zu deinem Teil 1):
Die Notation $\left(\sum a_k t^k\right)(b)$ ist ungeschickt. Es geht ja gerade darum, $t$ durch $b$ zu ersetzen. Es sollte direkt $\sum a_k b^k$ heißen.

Zu Teil 2):
Eigentlich muss man nur ausnutzen, dass die Multiplikation auf $R[t]$ gerade so definiert ist, dass $t$ gerade wie ein normales Element eines Rings behandelt wird. Also
\[\left(\sum_{i=0}^n a_i t^i\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^m c_j t^j\right):=\sum_{k=0}^{n+m}t^k\sum_{i+j=k}a_i c_j\mapsto\sum_{k=0}^{n+m}b^k\sum_{i+j=k}a_i c_j=\left(\sum_{i=0}^n a_i b^i\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^m c_j b^j\right).\] Die rechte Gleichung gilt in Ringen allgemein, und die linke Gleichung wurde extra so definiert, dass sie mit dem übereinstimmt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Trikolonn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29 14:59


Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich habe sie schon am selben Tag noch gelesen, aber hatte nicht die Gelegenheit, meine Lösungsansätze zu posten, da ich nicht am PC konnte.

Mittlerweile habe ich die Aufgabe hinbekommen und durch deine Erklärung ist mir einiges klarer.


Ein dickes Dankeschön nochmal und einen schönen Tag :)

Liebe Grüße,

Trikolonn



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