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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Determinanten » SO(n): det(A) = det(B) = 1 ⇒ det(AB) = 1
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Kein bestimmter Bereich SO(n): det(A) = det(B) = 1 ⇒ det(AB) = 1
hwi
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.11.2016
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-26 19:43


Hallo Mathefreunde,
ich versuche gerade folgendes zu zeigen:
Gegeben sind zwei \((n\times n)\)-Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) mit
\[\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{T};\quad\mathbf{B}^{-1}=\mathbf{B}^{T}\] und
\[\det(\mathbf{A})=\det(\mathbf{B})=1.\] Die Elemente der Matrizen sind alle in \(\mathbb{R}\). Im ersten Teil der Aufgabe sollte man zeigen, dass \((\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1}\)=\((\mathbf{A}\mathbf{B})^{T}\) ist. Das hab ich hinbekommen. Im zweiten Aufgabenteil soll man nun zeigen, dass außerdem gilt
\[\det(\mathbf{AB})=1.\] Dabei bin ich etwas verwirrt. Im Prinzip könnte man sagen: Es gibt den Determinantenproduktsatz daher
\[\det(\mathbf{AB})=\det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B})=1\cdot1=1\]  
fertig. Kommt mir aber etwas zu simpel vor, wahrscheinlich müsste man dann den Satz zusätzlich beweisen. Gibt es einen eleganteren weg das zu zeigen oder meint ihr es läuft wirklich einfach darauf hinaus?

Würde mich über ein paar Tipps freuen.

Vielen Dank,
hwi



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2980
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-26 19:47


Warum sollte man den Determinantenproduktsatz beweisen, wenn man ihn schon kennt? Habt ihr den nicht behandelt?


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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hwi
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.11.2016
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-26 20:02


Der Satz wurde in der Vorlesung gegeben aber nicht bewiesen.


Ich hätte nur etwas komplizierteres erwartet, wahrscheinlich läuft es dann wirklich einfach auf die eine Zeile hinaus.



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5607
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-26 20:15


Ich schätze, dass du es dann doch beweisen musst. Kann es sein, dass in der Vorlesung gesagt wurde "Beweis als Übung"?



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ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-26 20:50


Man muss halt, wenn man zeigen will, dass SO(n) eine Gruppe ist, irgendwann mal zeigen, dass das Produkt von zwei Elementen wieder darin liegt: Das ist einerseits, dass das Produkt orthogonal ist, und andererseits, dass es Determinante 1 hat. Das mag sehr einfach sein, aber so ist das eben, da kommt man nicht drumherum. Dass man so einen schwierigen Satz wie den Determinantenmultiplikationssatz mal eben nebenher, ohne dass das explizit gesagt wird, in so einer Aufgabe beweisen soll, kann ich mir nicht vorstellen.



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5607
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-26 21:09


2020-03-26 20:50 - ligning in Beitrag No. 4 schreibt:
Dass man so einen schwierigen Satz wie den Determinantenmultiplikationssatz mal eben nebenher, ohne dass das explizit gesagt wird, in so einer Aufgabe beweisen soll, kann ich mir nicht vorstellen.

Da hast du dann vermutlich recht, ligning. Ich hatte nicht mehr in Erinnerung, wie schwierig der Beweis ist.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-26 21:14


Ich denke auch, dass der Determinantenmultiplikationssatz verwendet werden kann.

Es ist zwar merkwürdig, dass der Dozent den Beweis davon in einer linearen Algebra Vorlesung weglässt, aber er kann schon seine Gründe haben. Der Beweis ist (je nach Definition) ein Stück Rechnen und liefert nicht unbedingt mehr Verständnis für den Satz. Viel eher sollte man sich die geometrische Anschauung der Determinante klar machen, um diesen Satz zu verstehen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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