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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Was ist GL_2(K)?
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Kein bestimmter Bereich J Was ist GL_2(K)?
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-27


Hallo Zusammen,

Sei $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ und $V=K^2$. Man identifiziere $GL(V)$
mit $GL_2(K)$ in der kanonischen Schreibweise. Die einzige Abbildung die $\overline{0}$ auf $id_V$ und $\overline{1}$ auf die Matrix $(0 1, 1 0)$ Abbildet ist ein Gruppenmorphismus....


Frage: Was bedeutet $GL_2(K)$?
$GL(V)$ glaube ich zu verstehen aber das andere nicht.

Wer weiss das?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-27


Hallo,

$GL_n(K)$ ist die Gruppe der invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen aus $K$

$GL(V)$ ist die Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen $V\to V$.




[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-27


ligning hat's ja schon gesagt.

Eine lineare Abbildung kann durch Multiplikation mit einer Matrix realisiert werden, sodass man beides im Wesentlichen als "identisch" auffassen kann.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27


Ach so ist das. Vielen Dank



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27


Aber ist denn hier $V=K^2$ der Raum der 2 mal 2 Matrizen?

Für quadratische Matrizen haben wir sonst eigentlich tiefgestellte Zahlen verwendet.

$K$ ist gemäss Vorwort des Buches immer ein kommutativer Körper.

Was bedeutet $K^2$



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-27


$K^2$ ist der Raum der Spaltenvektoren mit 2 Einträgen aus $K$. (Sicher schonmal gehört? $\IR^2$ sollte ein Begriff sein.)



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27


ja, jetzt hatte ich gerade einen Knopf.

Vielen Dank Ligning



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


Nun habe ich doch noch eine Frage.

Wenn man die Menge $GL(V)$  als Gruppe auffasst, ist dann schon bestimmt welche Gruppenoperation zu verwenden ist?

Auf die Schnelle scheint mir "$\circ$" naheliegend.

Aber es würden doch bestimmt auch andere Matrixoperationen in Frage kommen.




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-30


Es ist die Komposition. Matrixoperationen spielen da keine Rolle, da $GL(V)$ ja nicht aus Matrizen, sondern aus linearen Abbildungen besteht.

Bei der $GK_n(K)$ ist es die Matrixmultiplikation.



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sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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