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Universität/Hochschule J Herleitung der Geodätengleichung II
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-28


Hallo Leute!

Habe eine Frage zur Herleitung der Geodätengleichung. Eine ähnliche Frage gab es bereits, allerdings interessiert mich dabe ein Detail, das noch nicht angesprochen wurde.

Ich kenne zwei Wege der Herleitung: eine über die kovariante Ableitung $D/dt$ und eine andere über den Zusammenhang $\nabla$.

Die erstere macht mir keine Probleme (da in 'Differential Geometry' von Loring W. Tu und in 'Riemannian Geometry' von do Carmo gut beschrieben).

Bei der Herleitung mit dem Zusammenhang stoße ich auf eine Unstimmigkeit.

Sei $\gamma(t):I\rightarrow M$ eine glatte Kurve und $(U,h)$ eine Karte mit $y_i(t)=(h_i\circ\gamma)(t)$. Dann kann man den Tangentialvektor $\gamma'$ schreiben mit $\sum_i\dot y_i\partial_i$.

Bei der Herleitung stößt man auf den Term

$\gamma'(\dot{y}_i)$, der dann auf die zweite Ableitung führen soll.

Jetzt kommt meine Frage. $\gamma'$ kann aber als Element des $T_{\gamma(t)}M$ nur auf Funktionen der Art $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ wirken, nämlich durch

$\gamma'(f)=(f\circ\gamma)'$.

Wie wirkt $\gamma'$ auf eine Funktion $\dot{y}_i:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$?



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28


Es geht dabei um diese Herleitung:

$\nabla_{\gamma'}\gamma'=\nabla_{\sum_i\partial_i\dot y_i}\sum_j\partial_j\dot y_j=\sum_i\dot y_i\nabla_{\partial_i}\sum_j\partial_j\dot y_j =\sum_{ij}\dot{y}_i\nabla_{\partial_j}\partial_j\dot y_j=\sum_{ij}\dot y_i(\dot y_j\nabla_{\partial_i}\partial_j + \partial_i(\dot y_j)\partial_j)$.

Jetzt kann ich die Christoffelsymbole einsetzen: $\sum_k\Gamma_{ij}^k\partial_k=\nabla_{\partial_i}\partial_j$.


$\nabla_{\gamma'}\gamma'=...=\sum_{ij}\dot y_i(\dot y_j\sum_k\Gamma_{ij}^k\partial_k + \partial_i(\dot y_j)\partial_j)=\sum_{ijk}\dot y_i\dot y_j\Gamma_{ij}^k\partial_k + \sum_{ij}\dot y_i\partial_i(\dot y_j)\partial_j=\sum_{ijk}\Gamma^k_{ij}\dot y_i\dot y_j\partial_k + \sum_{j}\gamma'(\dot y_j)\partial_j=\sum_{ijk}\Gamma^k_{ij}\dot y_i\dot y_j\partial_k + \sum_{k}\gamma'(\dot y_k)\partial_k = \sum_k\partial_k(\sum_{ij}\Gamma^k_{ij}\dot y_i\dot y_j + \gamma'(\dot y_k))=0$.

Das heißt:

$\sum_{ij}\Gamma^k_{ij}\dot y_i\dot y_j + \gamma'(\dot y_k)=0$.

Und es bleibt die Frage, wie man den Term $\gamma'(\dot y_k)$ interpretiert.



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Gibt es echt niemanden, der helfen kann/will?

Hab schon einiges versucht, doch komm ich nicht dahinter ... irgendwelche Tipps?

Mein letzter Versuch war:

$\gamma:I\rightarrow M$ ... ist die Kurve
$h^{i}:U\rightarrow \mathbb{R}$ ... ist die Koordinatenabbildung
Ich nenne nun $y^{i}=h^{i}\circ \gamma$ und $\dot{y}^{i}=(h^{i}\circ\gamma)'$
$\gamma'\in T_{\gamma(t)}M$ ist der Tangentialvektor, für den gilt:
$\gamma'[f]=(\gamma\circ f)'$ wenn $f$ aus $C^{\infty}(M)$.

Wie wirkt nun $\gamma'$ als Tangentialvektor auf $\dot{y}^{i}=(h^{i}\circ\gamma)'$?

$\gamma'[(h^{i}\circ\gamma)']=?$ weil Abbildung von $\dot{y}^{i}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ nicht aus $C^{\infty}(M)$.



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Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-04


Hey!

Differentialgeometrie ist nicht unbedingt mein Spezialgebiet, aber ich meine, dass man das Vektorfeld (lokal) fortsetzen muss. Also man erweitert das Vektorfeld \( \gamma' \) , welches je nach Konvention auf einem Intervall \(I\) oder dem Bild \(\gamma(I) \) definiert ist, zu einem Vektorfeld \( X \in \mathfrak X^1 (U) \), \( U \subset M \) offene Menge mit \( \gamma (t) \in U \), sodass \( X \vert_{\gamma(I) \cap U } = \gamma' (\gamma^{-1}(.)) \vert_{\gamma (I) \cap M} \). Dass so eine Erweiterung existiert, zeigt man in einer Karte. Und die Rechnung zeigt, dass es egal ist, welche Erweiterung man wählt.

In Wahrheit wendet man dann \( \nabla_X X \) an, \( \nabla_{\gamma'} \gamma ' \) ist nicht definiert. Aber es ist
\[ \frac{\nabla }{d t} \gamma ' (t ) = \nabla_X X (\gamma(t)) \in T_{\gamma (t)} M . \]
(Also kurz gefasst: Was in dem Buch steht, ist sicherlich nicht rigoros)



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FibreBundle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Danke für die Antwort!

Aha. Also liegt es daran, dass $\gamma'$ nicht als Vektorfeld auf $M$ definiert ist.

Hmmm ...

Dann bleibe ich bei der Variante mit den kovarianten Ableitungen: $D/dt$ oder $\nabla/dt$.

Was ich aber mitnehmen kann von der ganzen Rechnerei, ist das folgende Ergebnis für Vektorfelder und Zusammenhänge.
$X=x_i\partial_i, Y=y_j\partial_j$ für $y_j,x_i: M\rightarrow \mathbb{R}$

$\nabla_XY=...=\sum_k(\sum_{ij}x_iy_j\Gamma_{ij}^k+X(y_k))\partial_k$.

(Steht so auch im do Carmo für Vektorfelder drinnen.)

Die Schwierigkeiten starten ja erst, wenn ich $\gamma'=\dot{y}_i\partial_i$ einsetze mit $\dot{y}_i:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Ich schreibe noch schnell die Version hin, die ich nun verwende (mit kovarianter Ableitung).

Seien also $X=\sum_ix_i\partial_i, Y=\sum_jy_j\partial_j$ Vektorfelder auf M, $V=\sum_kv_k\partial_k$ sei ein Vektorfeld entlang der Kurve $\gamma(t):I\rightarrow M$ und $\nabla$ der Zusammenhang.

Dann gilt wegen $x_i,y_j:M\rightarrow \mathbb{R}$:

$\nabla_XY=...=\sum_k(\sum_{ij}x_iy_j\Gamma_{ij}^k+X(y_k))\partial_k$.

Für Vektorfelder $V$ entlang von $\gamma$ gibt es die kovariante Ableitung $D/dt$:

$DV/dt = \nabla_{\gamma'}Y(\gamma(t))$

$DV/dt$ kann man aber wieder durch Rechnerei und unter Verwendung von $\gamma'=\sum_l\dot{z}_l\partial_l$ mit $z_l=h_l\circ\gamma$ auf der Karte $(U,h:U\rightarrow \mathbb{R}^n)$ auf die folgende Form bringen:

$DV/dt = \sum_i\dot{v}_i\partial_i + \sum_iv_iD\partial_i/dt=\sum_i\dot{v}_i\partial_i + \sum_{ij}v_i\dot{z}_j\nabla_{\partial_j}\partial_i$

Das ergibt mit den $\Gamma$s:

$DV/dt=\sum_k\dot{v}_k\partial_k + \sum_{ijk}v_i\dot{z}_j\Gamma_{ij}^k\partial_k=\sum_k(\dot{v}_k+\sum_{ij}v_i\dot{z}_j\Gamma_{ij}^k)\partial_k$

Jetzt kann ich statt $V(t)$ einfach $\gamma'(t)$ einsetzen, d.h. statt $v_i$ einfach $\dot{z}_i$ einsetzen, die Gleichung null setzen, und ich bekomme das ersehnte Ergebnis:

$D(\gamma')/dt = \sum_k(\ddot{z}_k +\sum_{ij}\dot{z}_i\dot{z}_j\Gamma^k_{ij})\partial_k = 0.$




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