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Zahlentheorie » Experimentelle Zahlentheorie » Restklassenzyklus in Collatzfolgen
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Kein bestimmter Bereich Restklassenzyklus in Collatzfolgen
blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-31


Restklassenzyklus in Collatzfolgen

Mit Restklassenbetrachtungen und Streichen von bestimmten Collatzfolgen lässt sich ein Zyklus von Restklassen zeigen. Ein Überblick soll dieses Flussdiagramm zeigen (Der rote Bereich stellt den Zyklus dar.):



Zur Erklärung des Flussdiagramms

1. Zahlen der Form $2n+1$ werden aufgeteilt in Zahlen der Form $4n+1$ und $4n+3$.
2. Die Zahlen $4n+3$ werden gestrichen.
3. Die übrig gebliebenen $4n+1$ werden aufgeteilt in $16n+1$, $16n+5$, $16n+9$ und $16n+13$.
4. Davon werden $16n+5$ gestrichen.
5. Die erste Collatziteration zur nächsten ungeraden Zahl wird durchgeführt. Es entstehen Zahlen der Form $12n+1$, $12n+7$ und $6n+5$.
6. $12n+1$, $12n+7$ und $6n+5$ wird zusammengefasst zu $6n+1$ und $6n+5$.
7. $4n+3$ wird gestrichen. $12n+1$ und $12n+5$ verbleibt.
8. $12n+1$ und $12n+5$ werden aufgeteilt in $24n+1$, $24n+17$, $48n+5$, $48n+13$, $48n+29$, $96n+37$, $192n+85$ und $192n+181$.
9. Davon werden $48n+5$ und $192n+85$ gestrichen.
10. Die zweite Collatziteration wird durchgeführt. Es entstehen Zahlen der Form  $18n+1$,$18n+13$,$18n+5$,$18n+11$,$18n+7$ und $18n+17$.
11. Diese Zahlen lassen sich wieder zusammenfassen zu Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.
12. Fortfahren bei Punkt 7.



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Gruß blindmessenger



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-31


Hey,
mir stellen sich zwei Fragen: Was willst du mit dem Thread bezwecken, bzw. was ist deine Frage? Wenn du denkst, dass damit ein Zyklus entsteht, dann muss das ja nicht unbedingt gelten. Wenn wir bei dem roten Bereich angelangen 6n+1 oder 6n+5, und dann irgendwann wieder zurück kehren, kann die Zahl ja trotzdem kleiner geworden sein und so bei 1 landen irgendwann.
Zweite Frage: Ich verstehe den Schritt von der ersten roten Box zur zweiten nicht (6n+1,6n+5 wird zu 12n+1,12n+5). Wie begründest du das genau?



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Hallo Red,

Zu 1. Frage:

Dieser Restklassenzyklus hat jetzt erstmal nichts mit dem Collatzfolgenzyklus 4-2-1 zu tun. Es geht nur darum zu zeigen, dass bestimmte Restklassen durch Iteration und Streichen von 4n+3 Folgen auf bestimmte andere Restklassen führen. Und dass das dann wieder auf sich selbst zeigt. Man landet immer wieder bei den Zahlen 6n+1 und 6n+5 egal wie oft man iteriert. Im Zyklus.

Zur 2. Frage:

Aus 6n+1 und 6n+5 wird 4n+3 gestrichen... 12n+1 und 12n+5 bleiben über.

Erst durch dieses Streichen lässt sich der Zyklus erkennen...


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Gruß blindmessenger



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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


@ Red_

Edit: Der erste Post war fehlerhaft... Das Schaubild passte, aber bei der Beschreibung habe ich einen Punkt vergessen... Habe das geändert...


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Gruß blindmessenger



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-31


Restklassen(zyklen) allein können hier leider nichts beweisen, da unklar bleibt wann die Folgenglieder größer oder kleiner werden.

Ich hatte das 2010 auch mal gemacht. Die Restklassen decken alle ungeraden positven Zahlen ab, wobei gleiche Farben die Zugehörigkeit zur selben Restklasse zeigen. Der Baum ist also in sich geschlossen, da die "Blätter" immer wieder auf diverse Äste leiten. Genaueres dazu hier im PDF. Damals war mir die Modulo Schreibweise noch fremd, aber das ändert ja nichts am Inhalt. Aus den 9 möglichen Nachbarschaftsteilgraphen des speziellen gerichteten Collatzgraphen lässt sich übrigens eine schöne Schlussfolgerung für Zyklen und unendliches Wachstum ziehen, also welche Restklassen daran beteiligt sein müssen und welche es eben nicht können.



Gruß, Slash


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Ich bin da jetzt noch nicht so ganz tief eingestiegen in Deine Ausführungen... Aber eine Frage hätte ich dann doch:

Beispiel Restklasse 24n+17:

Diese Zahlen haben laut meinem Schema immer als nächstes Element Zahlen der Form 18n+13.

Bei Deinem Schema zeigt diese Restklasse auf Zahlen der Form 18n+17, 18n+11, 18n+5 etc.

Wie kommen Deine Verbindungen zu Stande?

Edit:

Vielleicht ist es auch anders herum gemeint. ABer dann folgende Frage?

Wieso zeigt Deine 24n+17 auf 3 andere Restklassen (18n+13, 16n+11 und 96n+69) wo sie doch nur zu 18n+13 wird?


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Gruß blindmessenger



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-31


Mein Restklassenbaum orientiert sich bzw. entsteht aus der Baumstruktur, die auf der ersten Seite im PDF erläutert wird. Ich habe das 2014 auch noch mal anders gemacht, siehe dieses (PDF). Es kommt immer darauf an, welche Restklassen untersucht werden. Letzten Endes kommt aber immer dasselbe heraus.


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Ich denke der Unterschied ist, dass es bei Dir darum geht die komplette Struktur also den "Baum" zu beschreiben...

In meinem Flussdiagramm geht es darum bestimmte "Äste" zu streichen und andere zusammenzufassen um eine neue Struktur zu sehen, nämlich das unabhängig von der Anzahl der Iterationen immer wieder die Zahlen 6n+1 und 6n+5 entstehen...


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Gruß blindmessenger



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-31


2020-03-31 23:00 - blindmessenger in Beitrag No. 5 schreibt:
Vielleicht ist es auch anders herum gemeint. ABer dann folgende Frage?

Wieso zeigt Deine 24n+17 auf 3 andere Restklassen (18n+13, 16n+11 und 96n+69) wo sie doch nur zu 18n+13 wird?

Das steht im PDF. Der Baum zeigt, welche 3 Restklassen eine andere bilden. Das hat also nichts mit der Iteration zu tun.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-31


2020-03-31 23:22 - blindmessenger in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich denke der Unterschied ist, dass es bei Dir darum geht die komplette Struktur also den "Baum" zu beschreiben...

In meinem Flussdiagramm geht es darum bestimmte "Äste" zu streichen und andere zusammenzufassen um eine neue Struktur zu sehen, nämlich das unabhängig von der Anzahl der Iterationen immer wieder die Zahlen 6n+1 und 6n+5 entstehen...

Ja, da hast du recht. Du müsstest dann noch mal genau beschreiben, was du zeigen willst.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-31


2020-03-31 23:22 - blindmessenger in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich denke der Unterschied ist, dass es bei Dir darum geht die komplette Struktur also den "Baum" zu beschreiben...

In meinem Flussdiagramm geht es darum bestimmte "Äste" zu streichen und andere zusammenzufassen um eine neue Struktur zu sehen, nämlich das unabhängig von der Anzahl der Iterationen immer wieder die Zahlen 6n+1 und 6n+5 entstehen...

Ja, da hast du recht. Du müsstest dann noch mal genau beschreiben, was du zeigen willst, also welche Folgerungen du aus dem beschrieben Zyklus ziehst.


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Edit: Siehe Beitrag 14


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-31


Also die letzte Tabelle verstehe ich nicht. Sind das jetzt Folgenglieder oder Moduloreste?


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Edit


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blindmessenger
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


So müsste es dann aussehen. Jede Elementspalte wird gebildet aus den Zahlen 6n+1 und 6n+5:

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
El. 1 &Streichen& El. 2 &Streichen& El. 3 &Streichen &El.4&...\\\hline
1&1 && &  &  &&    \\\hline
3&\require{enclose}\enclose{horizontalstrike}{3}& & &  &  & &    \\\hline
5&\enclose{horizontalstrike}{5} && &  & &      \\\hline
7&\enclose{horizontalstrike}{7}& & &  & &    \\\hline
9&9 &7&\enclose{horizontalstrike}{ 7}&  &  &     \\\hline
11&\enclose{horizontalstrike}{11} && &  &  &     \\\hline
13&13 &5&\enclose{horizontalstrike}{5} &  &  &     \\\hline
15&\enclose{horizontalstrike}{15} && &  & &      \\\hline
17&17 &13& 13& 5 &\enclose{horizontalstrike}{5 } &     \\\hline
19&\enclose{horizontalstrike}{19}& & &  & &      \\\hline
21&\enclose{horizontalstrike}{21}& & &  & &      \\\hline
23&\enclose{horizontalstrike}{23}& & &  &  &     \\\hline
25&25 & 19&\enclose{horizontalstrike}{19}&  &  &     \\\hline
27&\enclose{horizontalstrike}{27}& & &  &   &    \\\hline
29&29 &11& \enclose{horizontalstrike}{11}&  &  &     \\\hline
31&\enclose{horizontalstrike}{31} && &  &  &     \\\hline
33&33 &25& 25& 19 &\enclose{horizontalstrike}{19}  &&     \\\hline
35&\enclose{horizontalstrike}{35} && &  &   &    \\\hline
37&\enclose{horizontalstrike}{37} && &  &  &     \\\hline
39&\enclose{horizontalstrike}{39} && &  &   &   \\\hline
41&41 &31&\enclose{horizontalstrike}{31} &  & &      \\\hline
43&\enclose{horizontalstrike}{43} && &  & &      \\\hline
45&45 &17& 17& 13 & 13    & 5 \\\hline
47&\enclose{horizontalstrike}{47} && &  &  &     \\\hline
49&49 &37& 37& 7 & \enclose{horizontalstrike}{7}&      \\\hline
51&\enclose{horizontalstrike}{51} && &  & &      \\\hline
53&\enclose{horizontalstrike}{53}& & &  &  &     \\\hline
55&\enclose{horizontalstrike}{55} && &  &   &    \\\hline
57&57 &43& \enclose{horizontalstrike}{43}&  & &  &   \\\hline
59&\enclose{horizontalstrike}{59} && &  &   &    \\\hline
61&61 &23& \enclose{horizontalstrike}{23}&  & &      \\\hline
63&\enclose{horizontalstrike}{63} && &  &  &     \\\hline
\end{array} \]


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In vereinfachter Form könnte man den Algorithmus auch so darstellen:




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