Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Ungleichungen » n-te Wurzel n kleinergleich n-te Wurzel Polynom
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich n-te Wurzel n kleinergleich n-te Wurzel Polynom
hari01071983
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 595
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-31


Zu zeigen: \[\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n^2-3n+4}\] Mein Versuch:
\[\sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n^2-3n+4} \quad / \hat{} {n} \\ {n} \leq {n^2-3n+4} \\ {0} \leq {n^2-4n+ 4} \\ {0} \leq ({n-2})^2  \]
Darf ich den ersten Schritt machen,als "hoch n"? Ist das valide, wie kann man diesen Schritt begründen?

Danke und
Lg Hari



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3878
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-31


Hallo,

darfst du. Begründung: die Umformung ist als Funktion streng monoton wachsend und beide Seiten der Ungleichung sind positiv.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5874
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-31


Hallo hari01071983,

der Schritt ist zulässig.

Begründung: Die Funktion \(f:\IR^{\geq0}\rightarrow\IR^{\geq0},x\mapsto x^n\) ist monoton wachsend.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hari01071983
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 595
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Erstmal herzlichen Dank für eure Antworten.

Dazu hätte ich auch gleich noch eine Frage:
2020-03-31 22:06 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
..."da" beide Seiten der Ungleichung sind positiv.

Heißt das, dass es auch Beispiele gibt, wo ich es nicht machen dürfte?
Wenn ja ,könntet ihr mir eines zeigen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3878
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hi,

da du ja mit der Unbekannten potenzierst geht es um eine Exponentialfunktion, da war mein (von dir zitierter) Einwand unnötig.

Aber bei festen Exponenten muss man halt aufpassen. Es ist ja bspw. \(-2<1\), aber quadriere das mal...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hari01071983
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 595
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


Ok, so weit verstanden.
Kann ich jetzt allgemein sagen, dass ich bei Umformungen alle Funktionen verwenden darf die "monoton"sind? Oder müssen die "monoton steigend" sein? Oder gibt es sonst irgendwelche Bedingungen die ich beim Umformen beachten muss?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3878
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-31


Hallo nochmal (auf die Schnelle),

wendet man Funktionen auf Ungleichungen an, müssen sie sogar streng monoton sein, damit es sich um Äquivalenzumformungen handelt.

Bei streng monoton steigenden Funktionen bleibt dabei die Relation unverändert, bei streng monoton fallenden Funktionen kehrt sie sich um.

Nachtrag: die strenge Monotonie ist natürlich nur für die strikte Ungleichheit '<' erforderlich. In deinem Fall tut es die bloße Monotonie. Siehe dazu den folgenden Beitrag. 😉


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5874
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-31


Wenn f eine monoton wachsende Funktion ist, dann gilt
\(x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\)

Wenn f eine monoton fallende Funktion ist, dann gilt
\(x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\)

EDIT: Wenn f nicht streng monoton ist, gilt hier nicht unbedingt die Umkehrung. Siehe Beitrag #11.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hari01071983
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 595
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-31


D.h. zum Beispiel die Multiplikation mit -1 ist eine streng monoton fallende Funktion:
\[\] <math>
\begin{align*}
-\   : & \IR \rightarrow \IR \\ & x \mapsto -x
\end{align*}
</math>

und daher wird die Ordnungsrelation umgedreht (umgekehrt). Stimmt das?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5874
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-31


Ja, das stimmt!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hari01071983
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.10.2006
Mitteilungen: 595
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Und was passiert bei ^2 (ist ja nur ein bestimmtes ^n)?
<math>
\begin{tikzpicture}
%---------some definitions ----------
\def\xstart{0.0} %x coordinate of the starting position
\def\ystart{0.0} %y coordinate of the starting position

\def\myarrowwidth{4.0}
\def\myarrowlength{6.0}
\def\myarrow{-{Straight Barb[scale=1,length=\myarrowlength,width=\myarrowwidth]}} % arrow for axes

\coordinate (point00) at ({\xstart},{\ystart}); %define Center Point
\def\intersectiony{ sqrt(\outerdiameter * \outerdiameter - \innerdiameter * \innerdiameter) }

%--------- Coordinate System  ----------
\def\xmin{-3}
\def\xmax{3}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{5}
\foreach \y  in {\ymin,...,\ymax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \xmin,\ystart + \y )$) -- ($(\xstart + \xmax,\ystart + \y )$) node[anchor=east] {};
\foreach \x  in {\xmin,...,\xmax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \x,\ystart + \ymin )$) -- ($(\xstart + + \x,\ystart + \ymax )$) node[anchor=east] {};

%--------- draw axes ----------
\draw[color=black,dash dot,\myarrow] ($(point00) + ({\xmin},{0.0})$ ) -- ($(point00) + ({\xmax},{0.0})$ ) node[right, xshift=0, yshift=0]{$x$};
\draw[color=black,dash dot, \myarrow] ($(point00) + ({0.0},{\ymin})$ ) -- ($(point00) + ({0.0},{\ymax})$ ) node[right, xshift=0, yshift=-\myarrowwidth]{$y$};

\def\tempa{2}
\def\linew{1pt}

%--------- draw fillings ----------
%\fill [blue!10, domain=0:2, variable=\x]
%  (0, 0)
%  -- plot ({\xstart + \x}, {\ystart + \x*\x})
%  -- (2, 0)
%  -- cycle;

\draw[scale=1.0,domain=-2:2,smooth,variable=\x,blue, line width=\linew] plot ({\x+\xstart},{\x*\x+\ystart});
\node [color=blue,above] (Label0a) at ($(point00) + ({1},{1.5})$ ) {$x^2$};
%----------------------------
\end{tikzpicture}
</math>

Bei dieser Umformung weiß man ja, dass man diese nicht immer machen darf. Was muss man hier beachten?







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
philippw
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1124
Aus: Hoyerswerda
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-04-01


2020-03-31 22:52 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn f eine monoton wachsende Funktion ist, dann gilt
\(x\leq y\iff f(x)\leq f(y)\)
Dazu muss f nicht notwendigerweise streng monoton sein.

Doch, damit der Pfeil in beide Richtungen stimmt, muss f streng monoton wachsend sein. Z.B. Wenn man f als konstant 4 betrachtet (monoton steigend und fallend gleichzeitig, aber nicht streng monoton steigend oder fallend), erhält man
\(x\leq y\implies 4\leq 4\)
und
\(x\leq y\implies 4\geq 4\)
für alle x, y, aber nicht
\(4\leq 4\implies x\leq y\)
\(4\leq 4\implies x\geq y\)
für alle x, y.

Um genau zu sein: Die Implikation $\implies$ in die eine Richtung ist genau die Definition von monoton steigend. Um den Pfeil in die andere Richtung zu bekommen, braucht man die Monotonie der Umkehrfunktion von f. Man wendet sie auf die rechte Seite an, und bekommt die linke Seite wieder heraus. Wenn f nicht _streng_ monoton steigt, wie z.B. $f(x)=4$, dann existiert keine Umkehrfunktion, und dann kommst so ein Quark wie oben raus. Wenn f _streng_ monoton steigt, dann garantiert das, dass f injektiv ist, also existiert eine Umkehrfunktion, und die Umkehrfunktion steigt automatisch auch streng monoton.


-----------------
"Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können."
Karl Marx



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
philippw
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1124
Aus: Hoyerswerda
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-04-01


2020-04-01 08:19 - hari01071983 in Beitrag No. 10 schreibt:
Und was passiert bei ^2 (ist ja nur ein bestimmtes ^n)?
<math>
\begin{tikzpicture}
%---------some definitions ----------
\def\xstart{0.0} %x coordinate of the starting position
\def\ystart{0.0} %y coordinate of the starting position

\def\myarrowwidth{4.0}
\def\myarrowlength{6.0}
\def\myarrow{-{Straight Barb[scale=1,length=\myarrowlength,width=\myarrowwidth]}} % arrow for axes

\coordinate (point00) at ({\xstart},{\ystart}); %define Center Point
\def\intersectiony{ sqrt(\outerdiameter * \outerdiameter - \innerdiameter * \innerdiameter) }

%--------- Coordinate System  ----------
\def\xmin{-3}
\def\xmax{3}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{5}
\foreach \y  in {\ymin,...,\ymax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \xmin,\ystart + \y )$) -- ($(\xstart + \xmax,\ystart + \y )$) node[anchor=east] {};
\foreach \x  in {\xmin,...,\xmax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \x,\ystart + \ymin )$) -- ($(\xstart + + \x,\ystart + \ymax )$) node[anchor=east] {};

%--------- draw axes ----------
\draw[color=black,dash dot,\myarrow] ($(point00) + ({\xmin},{0.0})$ ) -- ($(point00) + ({\xmax},{0.0})$ ) node[right, xshift=0, yshift=0]{$x$};
\draw[color=black,dash dot, \myarrow] ($(point00) + ({0.0},{\ymin})$ ) -- ($(point00) + ({0.0},{\ymax})$ ) node[right, xshift=0, yshift=-\myarrowwidth]{$y$};

\def\tempa{2}
\def\linew{1pt}

%--------- draw fillings ----------
%\fill [blue!10, domain=0:2, variable=\x]
%  (0, 0)
%  -- plot ({\xstart + \x}, {\ystart + \x*\x})
%  -- (2, 0)
%  -- cycle;

\draw[scale=1.0,domain=-2:2,smooth,variable=\x,blue, line width=\linew] plot ({\x+\xstart},{\x*\x+\ystart});
\node [color=blue,above] (Label0a) at ($(point00) + ({1},{1.5})$ ) {$x^2$};
%----------------------------
\end{tikzpicture}
</math>

Bei dieser Umformung weiß man ja, dass man diese nicht immer machen darf. Was muss man hier beachten?

Man muss den Definitionsbereich einschränken, z.B. nur auf nicht-negative Zahlen, dann ist die Funktion streng monoton steigend. D.h. dass die Unformung "Quadrieren" nur eine Äquivalenzumformung ist, wenn beide Seiten der Ungleichung vorher nicht-negativ waren. Gilt übrigens für alle geraden ^n. Wenn n ungerade ist, ist die Funktion ja für alle reellen Zahlen streng monoton steigend, d.h. es ist egal, ob vorher was negativ war.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3878
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-04-01 08:19 - hari01071983 in Beitrag No. 10 schreibt:
Und was passiert bei ^2 (ist ja nur ein bestimmtes ^n)?
<math>
\begin{tikzpicture}
%---------some definitions ----------
\def\xstart{0.0} %x coordinate of the starting position
\def\ystart{0.0} %y coordinate of the starting position

\def\myarrowwidth{4.0}
\def\myarrowlength{6.0}
\def\myarrow{-{Straight Barb[scale=1,length=\myarrowlength,width=\myarrowwidth]}} % arrow for axes

\coordinate (point00) at ({\xstart},{\ystart}); %define Center Point
\def\intersectiony{ sqrt(\outerdiameter * \outerdiameter - \innerdiameter * \innerdiameter) }

%--------- Coordinate System  ----------
\def\xmin{-3}
\def\xmax{3}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{5}
\foreach \y  in {\ymin,...,\ymax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \xmin,\ystart + \y )$) -- ($(\xstart + \xmax,\ystart + \y )$) node[anchor=east] {};
\foreach \x  in {\xmin,...,\xmax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \x,\ystart + \ymin )$) -- ($(\xstart + + \x,\ystart + \ymax )$) node[anchor=east] {};

%--------- draw axes ----------
\draw[color=black,dash dot,\myarrow] ($(point00) + ({\xmin},{0.0})$ ) -- ($(point00) + ({\xmax},{0.0})$ ) node[right, xshift=0, yshift=0]{$x$};
\draw[color=black,dash dot, \myarrow] ($(point00) + ({0.0},{\ymin})$ ) -- ($(point00) + ({0.0},{\ymax})$ ) node[right, xshift=0, yshift=-\myarrowwidth]{$y$};

\def\tempa{2}
\def\linew{1pt}

%--------- draw fillings ----------
%\fill [blue!10, domain=0:2, variable=\x]
%  (0, 0)
%  -- plot ({\xstart + \x}, {\ystart + \x*\x})
%  -- (2, 0)
%  -- cycle;

\draw[scale=1.0,domain=-2:2,smooth,variable=\x,blue, line width=\linew] plot ({\x+\xstart},{\x*\x+\ystart});
\node [color=blue,above] (Label0a) at ($(point00) + ({1},{1.5})$ ) {$x^2$};
%----------------------------
\end{tikzpicture}
</math>

Bei dieser Umformung weiß man ja, dass man diese nicht immer machen darf. Was muss man hier beachten?

Wenn du sie nur auf positive Terme anwendest, ist sie streng monoton steigend, für negative streng monoton fallend...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5874
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-04-01


2020-04-01 08:27 - philippw in Beitrag No. 11 schreibt:
2020-03-31 22:52 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn f eine monoton wachsende Funktion ist, dann gilt
\(x\leq y\iff f(x)\leq f(y)\)
Dazu muss f nicht notwendigerweise streng monoton sein.

Doch, damit der Pfeil in beide Richtungen stimmt, muss f streng monoton wachsend sein.

Danke! Habe meinen Beitrag #7 geändert. Wo war ich nur mit meinen Gedanken?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hari01071983 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
hari01071983 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]