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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Existenz von Stammkörpern (Beweis verstehen)
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Universität/Hochschule Existenz von Stammkörpern (Beweis verstehen)
PhilipKempe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-01


Hallo, ich bereite mich momentan auf die Vorlesung "Algebra" vor und habe ein paar Fragen zu folgendem Beweis:



Satz
____

Es sei $K$ ein Körper und $f \in K[\; t\,]$ ein irreduzibles Polynom.


a) $K[\;t\;] / \langle f \rangle$ ist ein Erweiterungskörper von $K$ und das Polynom $f$ hat in $K[\;t\;]  / \langle f \rangle $ die Nullstele $\overline{t}$.

b) Das Polynom $f/lc(f)$ ist das Minimalpolynom von $\overline{t} \in K[\;t\;]  / \langle f \rangle$  über $K$ und $K[\;t\;]  / \langle f \rangle = K(\overline{t})$.

Insbesondere ist $K[\;t\;]  / \langle f \rangle$ ein Stammkörper von $f$.




Beweis
_______


Wir identifizieren die Elemene $a$ von $K$ mit den Restklassen $\overline{a}$ in $K[\;t\;]  / \langle f \rangle$.

Da die Abbildung $\varphi: K \rightarrow K[\;t\;] / \langle f \rangle, a \mapsto \overline{a}$

ein Körperhomomorphismus ist und somit $K$ und $\varphi(K)$ nach Lemma 4.5 isomorph sind, ist das eine zulässige Identifizierung.


Zu a)
___

Aus Korollar 2.14 wissen wir, dass $L = K[\;t\;]  / \langle f \rangle$ ein Körper ist, weil $f$ irreduzibel ist.

Außerdem gilt für $f = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k}$ mittels der obigen Identifizierung in $K[\;t\;]  / \langle f \rangle$ dann

 $f(\overline{t}) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k}} \cdot \overline{t}^{k} = \sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k}} \cdot \overline{t^{k}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k} \cdot t^{k}}  =  \overline{\sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k}} = \overline{f} = \overline{0}$


Zu b)
___

Da jedes Element in $K[\;t\;]  / \langle f \rangle$ ein Polynom in $\overline{t}$ ist, gilt


$K[\;t\;]  / \langle f \rangle = K[\; \overline{t}\;]$.


Da zudem $\overline{t}$ als Nullstelle des Polynoms $f$ algebraisch ist, gilt nach Satz 4.15 $K[\;\overline{t}\;] = K(\overline{t})$.


Aus demselben Satz folgt, dass das Minimalpolynom $\mu_{\overline{t}}$ von $t$ über $K$ ein normierter, nicht-konstanter Teiler des normierten Polynoms $r / lc(f)$ sein muss, so dass beide übereinstimmen müssen.





Das war der Beweis. Ich verstehe nicht alles, daher habe ich dazu ein paar Fragen. Damit ihr ungefähr wisst, wo ich stehe, erkläre ich kurz, wie ich den Beweis verstanden habe und stelle dann meine Fragen.




Beweis
_______



Allgemeine Sachen
______


Nach Voraussetzung ist $K$ ein Körper.

Damit ist $K[\; t \; ]$ ein Polynomring über einem Körper. Polynomringe über einem Körper sind Hauptidealringe. Also ist $K[\; t \;]$ ein Hauptidealring.

Das Erzeugnis $\langle f \rangle = \{ r \cdot f\; \vert \; r \in K[\; t \; ] \}$ von $f \in  K[\; t \; ]$ ist ein Ideal in $K[\; t \;]$. Und da $K[\; t \;]$ ein Hauptidealring ist, ist jedes ist Ideal in $K[\; t \; ]$ ein Hauptideal. Also ist $\langle f \rangle$ ein Hauptideal.


Der Faktorring $K[\;t\;] $ modulo $\langle f \rangle $ hat die Form $K[\; t\; ] / \langle f \rangle = \{ r + \langle f \rangle \; \vert \; r \in K[\;t\;]  \}$


1. Frage
__

Was meint man genau mit dem Satz

"Wir identifizieren die Elemene $a$ von $K$ mit den Restklassen $\overline{a}$ in $K[\;t\;]  / \langle f \rangle$.

Da die Abbildung $\varphi: K \rightarrow K[\;t\;] / \langle f \rangle, a \mapsto \overline{a}$

ein Körperhomomorphismus ist und somit $K$ und $\varphi(K)$ nach Lemma 4.5 isomorph sind, ist das eine zulässige Identifizierung." ?



Dass $\phi$ ein Körperhomomorphismus ist, ist mir klar.Und dass daraus folgt, dass $K$ und $\varphi(K)$  isomorph sind, ist mir auch klar.

Aber was meint man mit identifizieren ? Sieht man $a$ und $\overline{a}$ als gleich an, oder wie ist das ? Und welchen Vorteil bringt uns diese Identifizierung ?










Zu a)
_



Im Skript haben wir Korollar 2.14. Da steht:

___________


"Sei $R$ ein Hauptidealring und $0 \neq p \in R$.  Dann sind folgende Aussagen gleichwertig:

a) $p$ ist irreduzibel.

b) $R/\langle p \rangle $ ist ein Körper"


___________


Da $K[\; t \; ]$ ein Hauptidealring und, nach Voraussetzung, $f \in K[\; t \;]$ ein irreduzibles Polynom ist, ist $L = K[\; t \; ] / \langle f \rangle$ ein Körper.





Wir erhalten die Gleichung

$f(\overline{t}) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k}} \cdot \overline{t}^{k} = \sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k}} \cdot \overline{t^{k}} = \sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k} \cdot t^{k}}  =  \overline{\sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k}} = \overline{f} = \overline{0}$





Es gilt die Gleichheit $\overline{t}^{k} = \overline{t^{k}} $  und $\overline{a_{k}} \cdot \overline{t^{k}} = \overline{a_{k} \cdot t^{k}}$ , weil die Multiplikation zweier Äquivalenzklassen im Faktorring $K[\;t\;]/ \langle f \rangle $ wohldefiniert ist.


Und dementsprechend gilt $\sum\limits_{k = 0}^{n} \overline{a_{k} \cdot t^{k}} = \overline{\sum\limits_{k = 0}^{n} a_{k} t^{k}}$, weil die Addition zweier Äquivalenzklassen im Faktorring wohldefiniert ist.


2. Frage
___

Behandelt man hier $t$ einfach wie ein ganz normales Element in $K[\; t \; ]$ ?





Die Gleichheit $\overline{f} = \overline{0}$ sieht man wie folgt:


Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder paarweise disjunkt sind.

Wenn $\overline{f} = \overline{0}$  gilt, dann müssen $\overline{f}$ und $\overline{0}$ mindestens ein gemeinsames Element haben.


Es ist $f = 1 \cdot f \in \overline{0} = 0 + \langle f \rangle = \langle f \rangle$ und $f = 1 \cdot f \in \overline{f} = f + \langle f \rangle $

Warum ist $f \in \overline{f}$ ?


In $\langle f \rangle $ ist auch das Nullpolynom $ 0 = 0 \cdot f$ enthalten.

Also ist in $f \in \overline{f} = f + \langle f \rangle $ auch das Polynom $f + 0 = f$ enthalten.


Da also $\overline{f}$ und $\overline{0}$ das Polynom $f$ enthalten, müssen $\overline{f}$ und $\overline{0}$ gleich sein.



Damit wäre Teil a) gezeigt.


Teil b) schaue ich mir morgen noch einmal an. Passen meine Erklärungen zur a) ?

Ich würde mich freuen, wenn jemand Zeit hat, die obigen zwei Fragen zu beantworten, weil ich in der Hinsicht verwirrt bin.



Ich bedanke mich schon einmal im Voraus.😃

Viele Grüße,

Philip



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-01

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Hallo PhilipKempe!

Das Erzeugnis $\mean f=[\dots]$ von $f\in K[t]$ ist ein Ideal in $K[t]$. Und da $K[t]$ ein Hauptidealring ist, ist jedes ist Ideal in $K[t]$ ein Hauptideal. Also ist $\mean f$ ein Hauptideal.

Du machst es dir unnötig kompliziert. Hauptideale sind per Definition solche Ideale, die von einem Element erzeugt werden. $\mean f$ wird per Definition vom Element $f$ erzeugt. Damit ist $\mean f$ selbstverständlich ein Hauptideal, ganz unabhängig davon, ob $K[t]$ ein Hauptideal ist.

Aber was meint man mit identifizieren? Sieht man $a$ und \$\bar a$ als gleich an, oder wie ist das ? Und welchen Vorteil bringt uns diese Identifizierung ?

Man möchte $K[t]/\mean f$ als Erweiterung von $K$ auffassen. Rein mengentheoretisch sind die Elemente von $K[t]/\mean f$ und $K$ aber völlig verschieden. $K[t]/\mean f$ enthält Äquivalenzklassen von Polynomen mit Koeffizienten aus $K$. Diese sind eben nicht identisch mit Elementen aus $K$. Um $K$ trotzdem als Teilkörper auffassen zu können, sucht man nun einen injektiven Homomorphismus $\varphi:K\to K[t]/\mean f$. Da Körperhomomorphismen ohnehin immer injektiv sind, brauchen wir uns um die Injektivität aber keine Sorgen zu machen, es reicht schon einfach einen Homomorphismus anzugeben. Man identifiziert dann eben $K$ mit $\varphi(K)$. Das heißt nichts anderes, als dass man einen Isomorphismus zwischen den beiden angibt, nämlich $\varphi$. Das selbe macht man mit den Elementen: $a$ verhält sich in $K$ genau so, wie sich $\bar a$ in $K[t]/\mean f$ verhält. Dass man $a$ nun mit $\bar a$ identifiziert heißt nichts weiter, als dass der angegebene Isomorphismus $\varphi$ einfach $a\mapsto\bar a$ abbildet. Der Vorteil ist, dass man so überhaupt darüber reden kann, ob $K[t]/\mean f$ eine Körpererweiterung ist oder nicht.

Behandelt man hier $t$ einfach wie ein ganz normales Element in $K[t]$?
Genau. Es ist ja auch wirklich nur ein ganz normales Element dieses Rings, es gibt also keinen Grund, es grundsätzlich anders zu behandeln.

Warum ist $f\in \bar f$?
Per Definition. $\bar f$ ist die Restklasse, die $f$ enthält. Oder alternativ $\bar f=f+\mean f$, und mit $0\in\mean f$ ist dann $f\in\bar f$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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PhilipKempe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02

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Hallo! Tausend Dank für deine Mühe🙂👍 Ich konnte mich leider erst jetzt melden.


2020-04-01 16:26 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

Aber was meint man mit identifizieren? Sieht man $a$ und \$\bar a$ als gleich an, oder wie ist das ? Und welchen Vorteil bringt uns diese Identifizierung ?

Man möchte $K[t]/\mean f$ als Erweiterung von $K$ auffassen. Rein mengentheoretisch sind die Elemente von $K[t]/\mean f$ und $K$ aber völlig verschieden. $K[t]/\mean f$ enthält Äquivalenzklassen von Polynomen mit Koeffizienten aus $K$. Diese sind eben nicht identisch mit Elementen aus $K$. Um $K$ trotzdem als Teilkörper auffassen zu können, sucht man nun einen injektiven Homomorphismus $\varphi:K\to K[t]/\mean f$. Da Körperhomomorphismen ohnehin immer injektiv sind, brauchen wir uns um die Injektivität aber keine Sorgen zu machen, es reicht schon einfach einen Homomorphismus anzugeben. Man identifiziert dann eben $K$ mit $\varphi(K)$. Das heißt nichts anderes, als dass man einen Isomorphismus zwischen den beiden angibt, nämlich $\varphi$. Das selbe macht man mit den Elementen: $a$ verhält sich in $K$ genau so, wie sich $\bar a$ in $K[t]/\mean f$ verhält. Dass man $a$ nun mit $\bar a$ identifiziert heißt nichts weiter, als dass der angegebene Isomorphismus $\varphi$ einfach $a\mapsto\bar a$ abbildet. Der Vorteil ist, dass man so überhaupt darüber reden kann, ob $K[t]/\mean f$ eine Körpererweiterung ist oder nicht.




Okay, man möchte also $K[\; t \;] / \langle f \rangle$ als Erweiterung von $K$ auffassen.

Aber mengentheoretisch sind diese zwei Mengen nicht miteinander vergleichbar.

Und in irgendeiner Weise will ich die Elemente von $K$ mit den Elementen von $K[\; t \; ] / \langle f \rangle$ vergleichen.


Dazu schauen wir die Abbildung

$\varphi: K \rightarrow K[\; t \; ] / \langle f \rangle, a \mapsto \overline{a}$ an.


Diese Abbildung ist ein Körperhomomorphismus und Körperhomomorphismen sind injektiv. Also ist $\varphi$ injektiv.





Was folgt, wenn die Abbildung $\varphi$ injektiv ist ?

1) $\vert K \vert  \le \vert K[\; t \; ] / \langle f \rangle \vert$

2) $\Phi: K \rightarrow Im(K), a \mapsto \varphi(a)$ ist ein Isomorphismus, d.h.

2.1. $\Phi$ ist bijektiv, also $\vert Im(K) \vert = \vert \{ \varphi(a) = \overline{a}\; \vert \; a \in K \} \vert  =  \vert K[\; t \; ] / \langle f \rangle \vert$.

2.2 $\Phi$ ist ein Homomorphismus.



Wir wissen nun, dass $K$ und $\varphi(K)$ gleich viele Elemente haben und die Elemente in $K$ verhalten sich genauso wie die Elemente in $K[\; t \; ] / \langle f \rangle$.

______________________________________________________________________

Was genau meinst du mit "sie verhalten sich genau so" ?

Ich kann mir schon vorstellen, dass du damit den Homomorphismus zwischen diesen Mengen meinst.

Wenn ich z.B. $a, b \in K$ miteinander addiere, dass ist es das gleiche,als würde ich in $Im(k)$ die Elemente $\overline{a}$ und $\overline{b}$ miteinander addieren.

Kann man das sonst irgendwie besser erklären ?


______________________________________________________________________




Damit gilt $\vert Im(K) \vert \le \vert K[\; t \; ] / \langle f \rangle \vert$. Also ist $Im(K)$ eine Teilmenge von $ K[\; t \; ] / \langle f \rangle$.


$Im(K)$ ist auch ein Körper, als insbesondere ein Teilkörper von $ K[\; t \; ] / \langle f \rangle$.


Damit ist $ K[\; t \; ] / \langle f \rangle  / Im(K)$ eine Körpererweiterung.


Also haben wir quasi, um die Elemente von $K$ und $K[\; t \; ] / \langle f \rangle $ miteinander vergleichen zu können, die Elemente von $K$ in Elemente von $K[\; t \; ] / \langle f \rangle$ "umgewandelt" (wir identifizieren sie nur).

Passt das ?



Ist es aber notwendig, dass $\Phi$ ein Homomorphismus ist, um $K$ und $K[\; t \; ] / \langle f \rangle$  miteinander vergleichen zu können ?

Oder reicht es, wenn $\Phi$ bijektiv ist ?




2020-04-01 16:26 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:


Behandelt man hier $t$ einfach wie ein ganz normales Element in $K[t]$?
Genau. Es ist ja auch wirklich nur ein ganz normales Element dieses Rings, es gibt also keinen Grund, es grundsätzlich anders zu behandeln.





Und hier liegt irgendwie auch mein Problem. Vielleicht liegt es daran, dass es schon sehr spät ist.

"t" ist ja das Argument eines Polynoms und in diesem Argument setzt man etwas ein... Aber im Beweis hat man dann plötzlich die Äquivalenzklasse des Arguments, was für mich keinen Sinn macht...

Mir fällt es schwer, das zu erklären, aber weißt du vielleicht, was ich damit meine ?


Falls ja, würde ich mich auf eine Antwort freuen. Falls nein, überlege ich mir morgen, wie ich mein Problem besser schildern kann.


Wünsche dir noch eine gute Nacht,

Philip
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-02

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Was genau meinst du mit "sie verhalten sich genau so" ?

Ich kann mir schon vorstellen, dass du damit den Homomorphismus zwischen diesen Mengen meinst.

Ja, ich meine genau den Homomorphismus. Speziell den Isomorphismus (der ja bei surjektiven Körperhomomorphismen automatisch gegeben ist, aber wenn man ähnliche Überlegungen bei Gruppen oder Ringen anstellt, sollte man beim Isomorphismus bleiben). Isomorphismen sind ja im Wesentlichen nur Umbenennungen der Elemente einer Struktur. Eine bessere "intuitive" Erklärung habe ich nicht. Die formale Erklärung ist lediglich, dass $\bar a$ das Bild von $a$ unter einem Isomorphismus ist. Das ist es ja, was "sich gleich verhalten" auf mathematisch ausgedrückt bedeutet.

Also haben wir quasi, um die Elemente von $K$ und $K[t]/\mean f$ miteinander vergleichen zu können, die Elemente von $K$ in Elemente von $K[t]/\mean f$ "umgewandelt" (wir identifizieren sie nur).

Passt das ?

Ja. Das entspricht auch dem modernen Konzept eines Teilkörpers. Ein Teilkörper von $L$ ist ein Körper $K$ mit einem Homomorphismus $\varphi:K\to L$. Dann ist $\varphi(K)$ im klassischen Sinne ein Teilkörper (also eine Teilmenge mit der Teilkörperstruktur). Moderner ist es dann zu sagen, dass einfach bereits das Tupel $(K,\varphi)$ ein Teilkörper ist. Dann braucht man sich um Teilmengenrelationen weniger Sorgen machen.

Ist es aber notwendig, dass $\Phi$ ein Homomorphismus ist, um $K$ und $K[t]/\mean f$  miteinander vergleichen zu können ?

Oder reicht es, wenn $\Phi$ bijektiv ist ?

Man braucht Homomorphismen. Gleichmächtige Körper können sich komplett unterschiedlich verhalten, obwohl Bijektionen zwischen ihnen existieren. Beispielsweise sind sowohl $\Q$, als auch der algebraische Abschluss von $\F_p$ abzählbar, es gibt also eine Bijektion zwischen diesen beiden Körpern, obwohl sie nichtmal die gleiche Charakteristik besitzen.

"t" ist ja das Argument eines Polynoms und in diesem Argument setzt man etwas ein... Aber im Beweis hat man dann plötzlich die Äquivalenzklasse des Arguments, was für mich keinen Sinn macht...

So solltest du nicht an Polynome herangehen. Polynome und Polynomfunktionen sind zwei unterschiedliche Dinge. Ein Polynom ist im Prinzip nur eine abbrechende Folge von Elementen $(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,\dots)$ aus einem Ring $R$, und diese Folge schreibt man dann als $a_0+a_1t+\dots+a_nt^n$. Es handelt sich hier nicht um eine Funktion $R\to R$. Es ist allerdings eine Funktion zu dieser Folge von Zahlen assoziiert, die nämlich $r\mapsto a_0+a_1r+\dots+a_nr^n$ abbildet. Das ist dann eine Polynomfunktion, aber kein Polynom.
Im Polynomring $R[t]$ ist $t$ einfach nur das Element $(0,1,0,0,\dots)$, das man mit vorgegebenen Regeln ganz normal multiplizieren kann.
\(\endgroup\)


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