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Analysis » Integration » Stammfunktion berechnen
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Kein bestimmter Bereich J Stammfunktion berechnen
raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-02


Hallo zusammen

Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich bei folgender Aufgabe die Stammfunktion berechne?

\(\frac{(dx+e)}{(x^2+bx+c)^\mu}, \mu \in \mathbb{N_{\ge1}}, d,e,b,c \in \mathbb{R} , c > \frac{b^2}{4}\)

Vielen Dank!



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-02


Tipps:
1. Was für einen Sinn hat die Bedingung $c > \frac{b^2}{4}$?
2. Kettenregel/Substitution


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-02


Hallo.

$
\frac{1}{2} (x (b+x)+c)^{-n} \left(d x^2 \left(\frac{2 x}{b-\sqrt{b^2-4
   c}}+1\right)^n \left(\frac{2 x}{\sqrt{b^2-4 c}+b}+1\right)^n
   AppellF1\left(2;n,n;3;-\frac{2 x}{b+\sqrt{b^2-4 c}},\frac{2 x}{\sqrt{b^2-4
   c}-b}\right)+\frac{c 2^{-n} \left(\sqrt{b^2-4 c}-b-2 x\right)
   \left(\frac{\sqrt{b^2-4 c}+b+2 x}{\sqrt{b^2-4 c}}\right)^n \,
   Hypergeometric2F1\left(1-n,n;2-n;\frac{-b-2 x+\sqrt{b^2-4 c}}{2 \sqrt{b^2-4
   c}}\right)}{n-1}\right)
$

Gefunden mit Mathematica.Mathematica ist der Meinung,dass sie stimmt. Zumindestens reproduziert das System wieder den Integranden.

@ DerEinfaeltige : Damit die Diskriminante positiv ist.Wobei wohl ein Vorzeichenfehler passiert ist.

Gruss endy



-----------------
Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02


@DerEinfaeltige

1. Falls c nicht grösser als b^2/4 wäre, würde ich die Wurzel einer negativen Zahl ziehen. Das habe ich zumindest bemerkt bei der Berechnung des Integrals für \(\mu = 1\).

Gemäss Aufgabenstellung soll ich eine rekursive Formel finden.

Soll ich für \(\mu = 1, \mu =2 \) die Stammfunktionen berechnen und von dem aus eine rekursive Formel finden?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo raede,

ich glaube, hier irrst du:

2020-04-02 14:33 - raede in Beitrag No. 3 schreibt:
1. Falls c nicht grösser als b^2/4 wäre, würde ich die Wurzel einer negativen Zahl ziehen. Das habe ich zumindest bemerkt bei der Berechnung des Integrals für \(\mu = 1\).

Die Forderung dient ja genau dazu, dass das beim Berechnen der Nennernullstellen passiert: d.h. durch die Forderung ist gewährleistet, dass es keine reellen Nennernullstellen gibt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-02


Hallo Raede,
darf ich zunächst mal über den Aufgabensteller meckern, dass es eine bescheuerte Idee ist, Koeffizienten "d" und "e" zu nennen, wenn man mit Integralen und Differentialen hantiert und auch nicht $e=2,71828...$ gemeint ist?
Nun ja. So richtig hilfreich waren die bisherigen Tips ja nicht... 😛
Substituieren wir erst einmal:
$$y=x+\frac12b$$Dann haben wir:
$$\int \frac{dx+e}{(x^2+bx+c)^\mu}\mathrm dx=\int \frac{d\left(y-\frac12b\right)+e}{\left(y^2+c-\frac14b^2\right)^\mu}\mathrm dy$$Wir kürzen außerdem wie folgt ab:
$$c-\frac14b^2=a^2$$und damit:
$$\int \frac{dx+e}{(x^2+bx+c)^\mu}\mathrm dx=\frac d2\int \frac{2y}{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy+\left(e-\frac12bd\right)\int \frac1{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy$$Das erste Integral kann man direkt berechnen:
$$\int \frac{dx+e}{(x^2+bx+c)^\mu}\mathrm dx=-\frac d{2(\mu-1)}\cdot\frac1{\left(y^2+a^2\right)^{\mu-1}}+\left(e-\frac12bd\right)\int \frac1{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy$$Bisher war es nur mühselig. Das ganze Problem reduziert sich jetzt darauf, das Integral
$$I_{\mu}=\int \frac1{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy$$zu finden. Das hätte als Aufgabenstellung auch gereicht, um das Prinzip zu verstehen. Man kann sich nämlich nun eines Tricks bedienen:
$$I_{\mu}=\frac1{a^2}\int \frac{y^2+a^2-y^2}{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy$$$$I_{\mu}=\frac1{a^2}I_{\mu-1}-\frac1{a^2}\int \frac{y^2}{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy$$$$I_{\mu}=\frac1{a^2}I_{\mu-1}-\frac1{a^2}\int \frac12y\cdot\frac{2y}{\left(y^2+a^2\right)^\mu}\mathrm dy$$Versuche nun, auf das Integral die Produktregel anzuwenden. Dann kannst Du einen rekursiven Zusammenhang herleiten.

Ciao,

Thomas



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-03


Hallo Thomas

Vielen Dank für Deine hilfreiche und sehr ausführliche Antwort. Dies hat mir sehr geholfen.

Die Benennung der Koeffizienten hat mich am Anfang verwirrt, dies ist bestimmt nicht optimal.

Folgende Fragen sind bei mir offen:

1) Wie kamst du auf die Idee \(y=x+ \frac{1}{2}b\) zu setzen?

2) Betrachte ich das Integral: \(\int\frac{1}{2}y \frac{2y}{(y^2+a^2)^{\mu}} dy\). Kann ich das wie folgt umschreiben:

\(\int \frac{1}{2}y(\frac{(y^2+a^2)^{1-\mu}}{1- \mu})'dy\), wobei \(\mu \neq 1\).

Gemäss der partiellen Integration ergibt das:

\(\frac{1}{2}y\frac{(y^2+a^2)^{1-\mu}}{1-\mu}-\frac{1}{2}\int\frac{(y^+a^2)^{1-\mu}}{1-\mu}dy\).

Wie kann ich das letztere Integral weiter mit der partiellen Integration vereinfachen, um auf eine rekursive Beschreibung zu schliessen?

Vielen Dank nochmals für die Hilfe!



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-03


Hallo raede,
2020-04-03 02:25 - raede in Beitrag No. 6 schreibt:
1) Wie kamst du auf die Idee \(y=x+ \frac{1}{2}b\) zu setzen?
Ich dachte, das sei offensichtlich. Durch diese Substitution bewirke ich, dass ich im Nenner hier nur noch $y^2+a^2$ stehen habe, wenn ich auch noch $a$ passend setze, und dann kann ich auf Standard-Integrale zurückgreifen. Das Integral von $\frac1{y^2+a^2}$ findet Du in jedem Tabellenbuch. Der Weg ist ja eigentlich immer der, die Integrale auf bekannte Standard-Lösungen zurückzuführen, und daher musst Du hier in $x^2+bx+c$ erst einmal durch eine passende Substitution das $+bx$ loswerden.

2020-04-03 02:25 - raede in Beitrag No. 6 schreibt:
Gemäss der partiellen Integration ergibt das:

\(\frac{1}{2}y\frac{(y^2+a^2)^{1-\mu}}{1-\mu}-\frac{1}{2}\int\frac{(y^2+a^2)^{1-\mu}}{1-\mu}dy\).
Perfekt! Jetzt siehst Du bloß den Wald vor lauter Bäumen nicht. Schau noch einmal genau hin. Wenn Du nun im Nenner das $1-\mu$ vor das Integral ziehst, und vielleicht die Schreibweise so änderst, dass das $(y^2+a^2)$ wieder im Nenner steht, fällt Dir dann nichts auf?

Ciao,

Thomas



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Vielen Dank, ich sehe es nun :) !

Wir haben die rekursive Formel nun.



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