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Universität/Hochschule J Basis einer Körpererweiterung
Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-03



Hallo Matheplanet,

ich bin an der Lösung untenstehender Aufgabe interessiert. Ich hoffe, dass ihr Lust habt, mir beim Lösen der Aufgabe zu helfen😄


Aufgabe
_______

Sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $\alpha \in L$ sei algebraisch über $K$ mit $n = deg(\mu_{\alpha})$.

Zeigen Sie:

Die Menge $B = \{ 1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n - 1}  \}$ eine Basis von $K(\alpha)$ als $K$ - Vektoraum und $\vert K(\alpha) : K \vert = deg(\mu_{\alpha}) = n$.


Insbesondere ist die einfache Körpererweiterung $K(\alpha)/K$ endlich.



Mit meinem Ansatz bin ich so weit:


Mein Ansatz
____________


Wir müssen zwei Sachen zeigen:

$(i)$ $Lin \left(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1} \right )$ ist ein Erzeugendensystem von $K(\alpha)$. Also $Lin \left(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1} \right ) = K(\alpha)$


$(ii)$ Die Elemente $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1}$ sind linear unabhängig.



Zu (i)
______


Aus der Vorlesung wissen wir, dass $K(\alpha) = K[\alpha]$ gilt.


$K[\alpha]$ ist dabei das Bild des Einsetzhomomorphismus  $\Phi_{\alpha}: K[t] \rightarrow L, f \mapsto f(\alpha).$

Also $K[\alpha] := Im(\Phi_{\alpha}) = \{ f(\alpha)\; \vert \; f \in K[t] \}$

$K(\alpha)$ ist Adjunktion von $K$ mit $\alpha$.



Wir müssen die Gleichheit  $Lin \left(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1} \right ) = K(\alpha)$ zeigen.


"$\subseteq$"



Die Menge $K[\alpha]$ enthält alle $f(\alpha)$ mit $f \in K[t]$. Dabei haben alle $f \in K[t]$ endlichen Grad.

Damit ist die Menge

 $Lin \left(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1} \right ) = \left \{  a_{0} \cdot 1 + a_{1} \cdot \alpha + \ldots + \alpha_{n - 1} \cdot \alpha^{n - 1}\; \vert \; a_{0}, \ldots, a_{n- 1} \in K \right \} = \{ f(\alpha) \; \vert \; f \in K[\; t \;], deg(f) \le n - 1 \}$

 in $K[\alpha]$ enthalten.

Und da $K(\alpha) = K[\alpha]$ gilt, ist $Lin \left(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1} \right ) $ auch in $K(\alpha)$ enthalten.




"$\supseteq$"

Für diese Inklusion habe ich einen Lösungsvorschlag bekommen, den ich nicht 100%ig verstehe:


Sei $f \in K[\; t \;]$ beliebig gegeben. Division  mit Rest liefert uns zwei Polynome $q, r \in K[\;  t \; ]$, so dass


$f = q \cdot \mu_{\alpha} + r$


mit $deg(r) < deg(\mu_{\alpha}) = n$.


Damit gilt dann aber

$f(\alpha) = q(\alpha) \cdot \mu_{\alpha}(\alpha) +  r(\alpha) = r(\alpha) \in Lin \left (1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}  \right )$ und die fehlende Inklusion $K(\alpha ) \subseteq Lin \left (1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}  \right )$

Somit ist $K(\alpha)$ in $Lin \left(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n- 1} \right ) $ enthalten.




Warum lässt sich $f$ darstellen durch die Multiplikation von $q$ mit dem Minimalpolynom $\mu_{\alpha}$ plus einen Rest $r$ ?

Wieso taucht hier plötzlich das Minimalpolynom auf ?


Warum folgt am Ende, dass $K(\alpha ) \subseteq Lin \left (1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}  \right )$ gilt ?

Dass $r(\alpha) \in Lin \left (1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}  \right )$ ist klar, da $deg(r) < deg(\mu_{\alpha}) = n$ gilt.

Also ist $deg(r) \le n - 1$ und damit ist $r(\alpha) \in Lin \left (1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}  \right )$.


Aber ich kann mir nicht erklären, warum $K(\alpha ) \subseteq Lin \left (1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}  \right )$ folgen soll.




Bei der $(ii)$ habe ich einen besseren Ansatz, der aber noch nicht ausgereift ist.

Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob die erste Inklusion bei mir passt und meine Fragen bei der anderen Inklusion beantworten könnte.


Viele Grüße, Felix👍




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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-03


Hallo Felix,

die erste Inklusion ist richtig. Das Argument für die andere Richtung ist auch richtig, ich versuche mal, es ein bisschen umzuformulieren um dabei hoffentlich deine Fragen zu beantworten.

Es sei $\beta \in K(\alpha)=K[\alpha]$ beliebig. Das heißt, es gibt ein $f \in K[x]$ mit $f(\alpha)=\beta$. Wir müssen zeigen, dass $\beta \in Lin(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n-1})$ ist.
Wir teilen jetzt $f$ mit Rest durch $\mu_\alpha$ (Division mit Rest ist in $K[x]$ ja immer möglich) und erhalten damit $q,r \in K[x]$ sodass $f=q \cdot \mu_\alpha+r$ und $\deg(r)<\deg(\mu_\alpha)=n$.
In die Gleichung $f=q \cdot \mu_\alpha+r$ setzen wir jetzt $\alpha$ ein und erhalten $\beta=f(\alpha)=q(\alpha) \cdot \mu_\alpha(\alpha)+r(\alpha) =r(\alpha)$. Die zweite Gleichheit folgt, da nach Definition des Minimalpolynoms $\mu_\alpha(\alpha)=0$ ist. Da du ja schon richtig festgestellt hast, dass $r(\alpha) \in Lin(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n-1})$ ist, folgt damit wie gewünscht $\beta \in Lin(1, \alpha, \ldots, \alpha^{n-1})$.

Ich hoffe, damit konnte ich weiterhelfen.

Gruß,
David



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Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-03


Danke für die schnelle Antwort!

Du hast das super verständlich erklärt.😁 Damit wäre auch die zweite Inklusion klar.


Das Ergebnis ist also, dass $Lin \left ( 1, \alpha, \ldots, \alpha^{ n - 1}  \right ) =  \{  f(\alpha)\; \vert \; f \in K[t] \}$


Das heißt, dass ich beispielsweise mit den Elementen $1, \alpha, \alpha^{2}$ Ausdrücke der Form $ a_{0} \cdot 1 + a_{1} \cdot \alpha + a_{2} \cdot \alpha^{2} + a_{3} \cdot \alpha^{3} $ darstellen kann?


Viele Grüße, Felix



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-03


2020-04-03 20:00 - Felixg in Beitrag No. 2 schreibt:

Das heißt, dass ich beispielsweise mit den Elementen $1, \alpha, \alpha^{2}$ Ausdrücke der Form $ a_{0} \cdot 1 + a_{1} \cdot \alpha + a_{2} \cdot \alpha^{2} + a_{3} \cdot \alpha^{3} $ darstellen kann?


Wenn $n=3$ ist, dann ja.



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Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-03


Aber in $K[\alpha]$ sind z.B. auch Ausdrücke wie $\alpha^{23} + \alpha^{5} + 1$ enthalten.  


Und da kann das Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$ beispielsweise auch nur $2$ sein, oder ?

Daher könnte ich $\alpha^{23} + \alpha^{5} + 1$ nicht mit $1$ und $\alpha$ darstelllen.

Wo liegt mein Denkfehler ?🤔


Viele Grüße, Felix



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-03


2020-04-03 20:38 - Felixg in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber in $K[\alpha]$ sind z.B. auch Ausdrücke wie $\alpha^{23} + \alpha^{5} + 1$ enthalten.  


Und da kann das Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$ beispielsweise auch nur $2$ sein, oder ?


Du meinst den Grad des Minimalpolynoms, nehme ich an? Dann ist es richtig.



Daher könnte ich $\alpha^{23} + \alpha^{5} + 1$ nicht mit $1$ und $\alpha$ darstelllen.


Doch, kannst du. Um herauszufinden, wie, kannst du denselben Trick benutzen wie vorhin im Beweis. Mit der Notation, die ich in #1 benutzt habe, ist jetzt $\beta=\alpha^{23}+\alpha^5+1$ und $f=x^{23}+x^5+1$. Das Polynom teilst du jetzt mit Rest durch das Minimalpolynom, also $f=q \mu_\alpha +r$ mit $\deg(r) \leq 1$ und dann ist $\alpha^{23}+\alpha^5+1=r(\alpha)$.

Ich geb vielleicht noch ein ganz simples Beispiel: K=\mathbb{Q}$ und $\alpha=i \in \mathbb{C}$. Dann ist $\mu_\alpha=x^2+1$, hat also Grad 2$. Hier ist die Rechnung so einfach, dass wir die Polynomdivision gar nicht brauchen: Und zwar ist $\alpha^4=1$ und damit $\alpha^5=\alpha$ und $\alpha^{23}=\alpha^3=-\alpha$, also $\alpha^{23}+\alpha^5+1=(-\alpha)+\alpha+1=1$ und das ist natürlich eine(ziemlich triviale) Linearkombination von $1$ und $\alpha$.
Wenn du jetzt ein anderes $\alpha$ betrachtest wird die Rechnung etwas komplizierter, aber das Prinzip bleibt dasselbe.



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Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Sorry, ich war gestern zu müde.

2020-04-03 20:52 - DavidM in Beitrag No. 5 schreibt:


Doch, kannst du. Um herauszufinden, wie, kannst du denselben Trick benutzen wie vorhin im Beweis. Mit der Notation, die ich in #1 benutzt habe, ist jetzt $\beta=\alpha^{23}+\alpha^5+1$ und $f=x^{23}+x^5+1$. Das Polynom teilst du jetzt mit Rest durch das Minimalpolynom, also $f=q \mu_\alpha +r$ mit $\deg(r) \leq 1$ und dann ist $\alpha^{23}+\alpha^5+1=r(\alpha)$.



Ah, jetzt verstehe ich das.

Das heißt, der Rest $r(\alpha)$ ist die Darstellung von $f$ durch die Basis $B = \{1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1} \}$.

Dankeschön!





Für $(ii)$ habe ich folgenden Ansatz.



Ich muss zeigen, dass die Elemente $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n - 1}$ linear unabhängig in $K(\alpha)$ sind.


Sei dazu eine beliebige Linearkombination $a_{0} \cdot 1 + a_{1} \cdot t + \ldots + a_{n - 1} \cdot \alpha^{n - 1} = 0$

der Null mit Koeffizienten $a_{0}, \ldots, a_{n - 1} \in K$.

Dann ist $f = a_{0} \cdot 1 + a_{1} \cdot t + \ldots + a_{n - 1} \cdot t^{n - 1} \in K[t]$ mit $f(\alpha) = 0$ und

 $deg(f) \le n - 1 < deg(\mu_{\alpha})$.


Nun erzeugt das Minimalpolynom den Kern des Einsetzhomomorphismus und $f$ ist im Kern des Einsetzhomomorphismus enthalten.

Das Minimalpolynom $\mu_{\alpha}$ ist das kleinste Polynom ungleich 0 kleinsten Grades, der im Kern enthalten.

Und wenn $f$ einen Grad hat, der echt kleiner als der Grad der Minimalpolynoms ist, dann muss $f$ das Nullpolynom sein, der nur das Nullpolynom hat einen kleineren Grad als das Minimalpolynom.


Es gilt also $f = 0$ und damit   $a_{0} = \ldots = a_{n - 1} = 0$.

Somit ist $B$ auch linear unabhängig.


Die Basis $B$ von $K(\alpha)$ hat $n$ Elemente, also gilt $\vert K(\alpha) : K \vert = deg(\mu_{\alpha}) = n$.

Und da die Körpererweiterung $K(\alpha) / K$ endlichen Grad hat, ist $K(\alpha) / K$ endlich.



Passt mein Beweis so ?


Falls ja, dann bedanke ich mich schon mal.

Du hast mir sehr geholfen!🤗😁


Viele Grüße, Felix



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-07


Hallo,

leider habe ich diesen Thread vollkommen aus den Augen verloren, deswegen jetzt verspätet meine Antwort: Ja, die Lösung für (ii) ist richtig.

Gruß,
David



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Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Kein Problem, das kann natürlich passieren.

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld, du hast mir sehr geholfen :)


Ich wünsche dir einen schönen Tag!

lg, Felix



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Felixg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Felixg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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