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Mathematik » Zahlentheorie » Ist es möglich, diesen Beweis zu verstehen?
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Schule Ist es möglich, diesen Beweis zu verstehen?
ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-04


1)wo

Der link


1) woher kommt die 1? (1*a) und da die (2)?
Möchte gern diesen Beweis mit einem Beispiel mit der Zahl verstehen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,

vielleicht verstehe ich die Frage falsch, aber in c.) sind die Behauptungen einfach durchnumeriert. Also erstens (1.) gilt $a=2^{n-1}(2^n-1)$ und zweitens (2.) gilt, dass $2^n-1$ eine Primzahl ist.
\(\endgroup\)


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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


wooow Du hast Recht, warum habe ich nicht auch so gedacht obwohl ich 3  mal gelesen habe. Jetzt is klar.Danke Nuramon
den beweis noch ?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-04


2020-04-04 16:09 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
den beweis noch ?

Hallo,

es geht hier um den Beweis des Satzes von Euklid. Es haben sich jede Menge Tippfehler eingeschlichen. Es muss heißen

Es sei \(a=2^{n-1}\cdot(2^n-1)\), wobei \(2^n-1\) eine Primzahl ist. Es ist zu beweisen, dass \(a\) eine perfekte Zahl ist, also dass \(ts(a)=2\cdot a\) gilt. Hierbei bezeichnet \(ts(a)\) die Summe aller Teiler von \(a\) (inklusive 1 und \(a\)). (ts steht für "Teilersumme".)

\(ts(a) = ts(2^{n-1}\cdot(2^n-1))\)
\(= ts(2^{n-1})\cdot ts(2^n-1)\)
\(=\frac{2^n-1}{2-1}\cdot((2^n-1)+1)\)
\(=(2^n-1)\cdot2^n\)
\(=(2^n-1)\cdot(2\cdot2^{n-1})\)
\(=2\cdot(2^n-1)\cdot(2^{n-1})\)
\(=2\cdot a\)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-04


2020-04-04 16:09 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
wooow Du hast Recht, warum habe ich nicht auch so gedacht obwohl ich 3  mal gelesen habe.
Ich habe mich auch schon mal über ein [1] am Ende einer Formel in einem Artikel gewundert, bis mir der Betreuer meiner Bachelorarbeit sagte, dass das eine Quellenangabe ist.


den beweis noch ?
Welche Fragen hast du zu dem Beweis?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


ich möchte den rot marliert Beseis bon Anfang bis End verstehen.
1) was ist (ts)  und (a)  dann wie ist die Erklärung vom ersten Zeile bis zum  Ende des Beweisen
dann möchte ein Beispiel( a , oder b) mit Zahlen, die unten üben



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-04


2020-04-04 18:21 - ziad38 in Beitrag No. 5 schreibt:
ich möchte den rot marliert Beseis bon Anfang bis End verstehen.
1) was ist (ts)  und (a)  dann wie ist die Erklärung vom ersten Zeile bis zum  Ende des Beweisen
Ich habe meinen Beitrag #3 ergänzt. Hilft dir das schon mal weiter?



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


hallo, zuerst möchte die Gesetze  von a bis c bestätigen
a)  Was ist eine Perfekte ( vollkommene)   vollkommene Zahlen( =Perfekte Zahlen oder? sind Zahlen ,die sich als summe ihrer Teiler einschließlich di (1) ,aber ohne die Zahl selbst ,darstellen lassen.
b) Satz von Euklid
hier bedeutet wenn 2^n-1 =primzahl,dann ist das Ergebnis in diesem Term
2^(n-1) * (2^n-1)=ist eine vollkommene(perfekte )Zahl.
c) Satz von Euklid
Es geht um diesem Term

2^(n-1) * (2^n-1)=a
Wenn a eine vollkommene (perfekte Zahl)
dann ist das Ergebnis von diesem Term(k)
 2^n-1=k ; dann  ist k ist eine Primzahl
Stimmt alles bis jetzt? dann gehe zurück zum Beweis.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Ziad,

2020-04-05 09:31 - ziad38 in Beitrag No. 7 schreibt:
hallo, zuerst möchte die Gesetze  von a bis c bestätigen
a)  Was ist eine Perfekte ( vollkommene)   vollkommene Zahlen( =Perfekte Zahlen oder? sind Zahlen ,die sich als summe ihrer Teiler einschließlich di (1) ,aber ohne die Zahl selbst ,darstellen lassen.
b) Satz von Euklid
hier bedeutet wenn 2^n-1 =primzahl,dann ist das Ergebnis in diesem Term
2^(n-1) * (2^n-1)=ist eine vollkommene(perfekte )Zahl.
c) Satz von Euklid
Es geht um diesem Term

2^(n-1) * (2^n-1)=a
Wenn a eine vollkommene (perfekte Zahl)
dann ist das Ergebnis von diesem Term(k)
 2^n-1=k ; dann  ist k ist eine Primzahl
Stimmt alles bis jetzt? dann gehe zurück zum Beweis.

Das stimmt jetzt so.

Jetzt einmal ein paar Worte zu deinem Vorhaben. Die Namen Euklid und Leonhard Euler gehören zu den bekanntesten Namen der Mathematikgeschichte. Lies dir beide Wikipediaseiten einmal durch!

Das Thema der vollkommenen Zahlen ist ein sehr anspruchsvolles Problem der Zahlentheorie. Hier ebenfalls die Wikipedia-Seite. Interessant ist dort u.a. der Abschnitt Klassische Probleme. Hier kannst du sehen, was alles noch ungelöst ist rund um dieses Zahlenphänomen.

Wenn ein Beweis bzw. ein Satz von Euler höchstpersönlich stammt (so wie hier der Teil c), dann heißt das eigentlich automatisch, dass er fachlich recht anspruchsvoll ist.

Hier geht es dir um den Satz von Euklid (also den Satz aus Teil b), der ist leichter zu beweisen. Definitiv bist du mit dieser Frage aber ziemlich weit über das hinausgeraten, was man in der Schule im Fach Mathematik macht. Dementsprechend schwierig ist die Materie dann eben auch zu verstehen.

Ich möchte dich keinesfalls davon abhalten sondern freue mich daran zu sehen, wie du hier im Lauf der Zeit immer mehr Interesse an der Mathematik entwickelst.

Das hier wird jedoch sehr anspruchsvoll werden, wenn du es weiterverfolgst. Es wäre auch überhaupt kein Beinbruch, wenn du es erstmal gut sein lässt.

Falls du doch weitermachen möchtest, dann lasse dir am besten mehr Zeit. Studiere eine Antwort vielleicht auch mal mehrere Tage lang, probiere selbst Rechnungen und Ansätze aus.

Als Vorübung würde ich hierzu empfehlen, für Zahlen der Formen \(2^n\) sowie \(2^n-1\)* die Teilersummen zu untersuchen mit dem Ziel, darin Gesetzmäßigkeiten zu entdecken.


Gruß, Diophant

* für den Fall, dass \(2^n-1\) eine Primzahl ist.
\(\endgroup\)


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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


Hallo Diophant,
1)Zitat(Wenn ein Beweis von Euler höchstpersönlich stammt, dann heißt das eigentlich automatisch, dass er fachlich recht anspruchsvoll ist. Definitiv bist du mit dieser Frage sehr weit über das hinausgeraten, was man in der Schule im Fach Mathematik macht. Dementsprechend schwierig ist die Materie dann eben auch zu verstehen.) Also du empfehlst mir das dieses Beweiß nicht jetzt zu versuchen , sonder später wenn man studierst? wenn ja
2) geht in diesen Beweis um  den Satz in Teil (b) ode Teil(c)?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-04-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Ziad,

2020-04-05 10:52 - ziad38 in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo Diophant,
1)Zitat(Wenn ein Beweis von Euler höchstpersönlich stammt, dann heißt das eigentlich automatisch, dass er fachlich recht anspruchsvoll ist. Definitiv bist du mit dieser Frage sehr weit über das hinausgeraten, was man in der Schule im Fach Mathematik macht. Dementsprechend schwierig ist die Materie dann eben auch zu verstehen.) Also du empfehlst mir das dieses Beweiß nicht jetzt zu versuchen , sonder später wenn man studierst?

So lange musst du ja nicht warten. Aber einfach mal aufschieben, das notwendige (für die Schule) zuerst machen. Oder weitermachen, aber ohne Zeitdruck. Lieber gründlich. 🙂

2020-04-05 10:52 - ziad38 in Beitrag No. 9 schreibt:
wenn ja
2) geht in diesen Beweis um  den Satz in Teil (b) ode Teil(c)?

Es ist der Beweis von Teil b). Hier musst du aber aufpassen: während wir bisher immer gesagt haben, dass eine Zahl selbst nicht zu ihrer Teilersumme gehört, ist das in diesem Beweis, so wie StrgAltEntf ihn in Beitrag #6 aufgeschrieben hat anders. Dort wird die Zahl selbst den Teilern zugerechnet. \(ts(a)\) steht kurz für die Teilersumme der Zahl \(a\). Und wenn man die Zahl selbst der Teilersumme zuschlägt, dann gilt für vollkommene Zahlen eben \(ts(a)=2a\). Macht man es wie in der Antike, dass also die Zahl selbst nicht zur Teilersumme beiträgt, dann müsste \(ts(a)=a\) gelten (für vollkommene Zahlen).

Daran sieht man ja auch gut, wie viel Vorwissen es in der Regel braucht, um so etwas nachvollziehen zu können.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


3) Zitat(
Das hier wird jedoch sehr anspruchsvoll werden, wenn du es weiterverfolgst. Es wäre auch überhaupt kein Beinbruch, wenn du es erstmal gut sein lässt.) bedeutet
es ist kein Problem wenn ich dies  jetzt lasse (nicht gut verstehe)?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-04-05


2020-04-05 11:07 - ziad38 in Beitrag No. 11 schreibt:
3) Zitat(
Das hier wird jedoch sehr anspruchsvoll werden, wenn du es weiterverfolgst. Es wäre auch überhaupt kein Beinbruch, wenn du es erstmal gut sein lässt.) bedeutet
es ist kein Problem wenn ich dies  jetzt lasse (nicht gut verstehe)?

Genau. 🙂


Gruß, Diophant



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


Zitat( Falls du doch weitermachen möchtest, dann lasse dir am besten mehr Zeit. Studiere eine Antwort vielleicht auch mal mehrere Tage lang, probiere selbst Rechnungen und Ansätze aus.) das heißt ich muss nicht mich sofort sagen on ich die Antwort verstehe, sondern lasse die Antwort Tage und lese noch mal . Stimmt das?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-04-05


Hallo Ziad,

2020-04-05 11:12 - ziad38 in Beitrag No. 13 schreibt:
Zitat( Falls du doch weitermachen möchtest, dann lasse dir am besten mehr Zeit. Studiere eine Antwort vielleicht auch mal mehrere Tage lang, probiere selbst Rechnungen und Ansätze aus.) das heißt ich muss nicht mich sofort sagen on ich die Antwort verstehe, sondern lasse die Antwort Tage und lese noch mal . Stimmt das?

Ja, auch das stimmt. 🙂


Gruß, Diophant



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


Letzter Punkt  für heute (Als Vorübung würde ich hierzu empfehlen, für Zahlen der Formen 2n sowie 2n−1 die Teilersummen zu untersuchen mit dem Ziel, darin Gesetzmäßigkeiten zu entdecken.)kannst du NUr ein Beispiel( auch später oder morgen) zeigen wie ich das mache , oder mir eine Webseite geben.Ich habe die Idee nicht ganz verstanden.
meist du 2^3=8 =1,2,4,8
2^5=32=1,2,4,,8,16,32
und
(2^6)-1=63=1,3,7,9,21
(2^4)-1=15=1,3,5,15 so Meinst du?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-04-05


2020-04-04 16:25 - Nuramon in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-04-04 16:09 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
wooow Du hast Recht, warum habe ich nicht auch so gedacht obwohl ich 3  mal gelesen habe.
Ich habe mich auch schon mal über ein [1] am Ende einer Formel in einem Artikel gewundert, bis mir der Betreuer meiner Bachelorarbeit sagte, dass das eine Quellenangabe ist.


den beweis noch ?
Welche Fragen hast du zu dem Beweis?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
Naja, das ist ja noch halb so schlimm.
Ich hab Ewigkeiten versucht eine Aussage zu beweisen, die eigentlich als Definition gedacht war...Dennoch hat sich daraus jetzt etwas interessantes ergeben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


Noch Farge ist dieser Beweis richtig? also keine Fehler, weil später werde noch mal versuchen, oder gibt es Fehler in diesen Beweis? und wenn es noch andere vielleicht Erklärung für diesem Beweis und es  wäre gut wenn du mir einen Beweis für diese Teil b und auch einen Beweis für Teil c falls du in  irgend eine Seite etwas gut gefunden hast ( muss nicht heute auch nach paar Tagen oder einer  Woche)




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-04-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Ziad,

2020-04-05 11:29 - ziad38 in Beitrag No. 15 schreibt:
Letzter Punkt  für heute (Als Vorübung würde ich hierzu empfehlen, für Zahlen der Formen 2n sowie 2n−1 die Teilersummen zu untersuchen mit dem Ziel, darin Gesetzmäßigkeiten zu entdecken.)kannst du NUr ein Beispiel( auch später oder morgen) zeigen wie ich das mache , oder mir eine Webseite geben.Ich habe die Idee nicht ganz verstanden.
meist du 2^3=8 =1,2,4,8
2^5=32=1,2,4,,8,16,32
und
(2^6)-1=63=1,3,7,9,21
(2^4)-1=15=1,3,5,15 so Meinst du?

Im Prinzip ja, aber du bist noch nicht fertig, denn du musst die Teiler ja auch noch addieren. Weiter sind im Fall von Zahlen der Form \(2^n-1\) hier eigentlich nur Primzahlen interessant.

Wie gesagt: um die Teilersumme einer Zahl zu erhalten, muss man die Teiler addieren. Also bspw. \(ts(8)=1+2+4+8=15\), \(ts(32)=1+2+4+8+16+32=63\).

Dann kannst du folgende Gesetzmäßigkeiten erkennen:

  • Zahlen der Form \(2^n\) besitzen stets die Teilersumme

    \[ts\left(2^n\right)=2^{n+1}-1\]
  • Primzahlen \(p\) besitzen stets die Teilersumme

    \[ts(p)=p+1\]
    Wenn also \(2^n-1\) eine Primzahl ist, dann gilt:

    \[ts\left(2^n-1\right)=2^n-1+1=2^n\]
    Alles obige unter der Voraussetzung, dass die Zahl selbst zur Teilersumme gerechnet wird.

    Mit den obigen Gesetzmäßigkeiten (die du dir ja jetzt einmal gründlich klarmachen könntest) kann man dann den Beweis aus Beitrag #6 doch recht leicht verstehen.

    2020-04-05 11:34 - ziad38 in Beitrag No. 17 schreibt:
    Noch Farge ist dieser Beweis richtig? also keine Fehler, weil später werde noch mal versuchen, oder gibt es Fehler in diesen Beweis? und wenn es noch andere vielleicht Erklärung für diesem Beweis und es  wäre gut wenn du mir einen Beweis für diese Teil b und auch einen Beweis für Teil c falls du in  irgend eine Seite etwas gut gefunden hast ( muss nicht heute auch nach paar Tagen oder einer  Woche)

    Dein Beweis aus dem Themenstart ist falsch. Verwende die Version von StrgAltEntf aus Beitrag #6.


    Gruß, Diophant

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]\(\endgroup\)


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    weird
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-04-05


    Hier von meiner Seite einige Bemerkungen dazu:

    Erstens stammt obiger Satz, dass Zahlen a der Form
    \[a=2^{n-1}\underbrace{(2^n-1)}_{=p\in\mathbb P}\quad (n>1)\] wobei $\mathbb P$ hier die Menge aller Primzahlen bezeichnet, vollkommen sind, nicht von Euler, sondern ist etwa 2000 Jahre älter und steht schon in Euklid's "Elementen". Was Euler wirklich gezeigt hat ist eine teilweise Umkehrung davon, nämlich dass alle geraden vollkommenen Zahlen diese Form haben.

    Zweitens gebe ich Diophant insofern recht, als obiger Beweis m.E. für dich zu "hoch" ist (sorry, wenn ich das jetzt so direkt sage!), glaube aber, dass man ihn in anderer Form durchaus verständlich machen kann. Man müsste dazu mit der Frage beginnen, wie die Menge $T(a)$ aller Teiler von $a$ aussieht und die kann man meiner Meinung nach noch leicht beantworten. Ich nummeriere jetzt der leichteren Referenzierbarkeit halber die folgenden Aussagen durch:

    1. Jeder Teiler $t$ (und wenn ich hier "Teiler" sage, beziehe ich mich hier und im Folgenden immer nur auf die positiven Teiler von $a$) hat doch die Form
    \[t=t_1t_2\quad \text{wobei}\quad t_1|2^{n-1} \land t_2|p=2^n-1\] d.h., ist eine Produkt von zwei natürlichen Zahlen $t_1$ und $t_2$, wovon $t_1$ ein Teiler von $2^{n-1}$ und $t_2$ ein Teiler der Primzahl $p:=2^n-1$ ist.

    2. Die Teiler $t_1$ von $2^{n-1}$ sind alle in der Aufzählung
    \[1,2,2^2,2^3,...,2^{n-1}\] enthalten.

    3. Die Teiler der Primzahl $p=2^n-1$ sind einfach $1$ und $p$.

    4. Die Teiler $t=t_1t_2$ von $a=2^{n-1}p$ liegen somit in genau einer der folgenden zwei Mengen $T_1$ und $T_2$:

    a) $T_1=\{1,2,2^2,2^3,...,2^{n-1}\}$, falls $t_2=1$ ist,
    b) $T_2=\{p,2p,2^2p,2^3p,...,2^{n-1}p\}$, falls $t_2=p$ ist.

    5. Die Summe aller Teiler in $T_1$ ist eine endliche geometrische Summe mit dem Wert
    \[1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1}=2^n-1\]
    6. Die Summe aller Teiler in $T_2$ ist einfach das $p$-fache der Summe in 5., da man ja $p$ herausheben kann:

    \[p+2p+2^2p+2^3p+...+2^{n-1}p=p(1+2+2^2+2^3+...+2^{n-1})=p(2^n-1)\]
    7. Die Endsumme, also die Summe aller Teiler aus 5. und 6. ist daher
    \[ts(a)=(2^n-1)+p(2^n-1)=(1+p)(2^n-1)=\\=(1+(2^n-1))(2^n-1)=2\cdot 2^{n-1}(2^n-1)=2a\] d.h., $a$ ist tatsächlich vollkommen, q.e.d.

    Wenn dir an dem ganzen Beweis irgendwas unklar ist, dann bitte dich genau auf den entsprechenden Punkt beziehen und auch sagen, was genau daran unklar ist, damit ich oder sonst jemand das dann eventuell noch genauer ausführen kann.

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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    Hallo, nur zur Bestätigung( nicht erklären)



    dieser Beweis(e) bezieht sich auf den Satz (a--> was ist eine perfekte Zahl) oder den Satz (b Wenn  2^n-1 eine Primzahle..... bis perfekt)?? ich dachte der Beweis bezieht sich auf  den Satz (b) aber eine Ältere Mathelehrer sagte mir NEIN , bezieht sich auf den Satz ( a) und er hat das nochmal beweisen.
    LInk


    Er sagte es wird bewiesen''' Eine vollkommene Zahl a ist eine Zahl, deren Teilersumme genau 2a ergibt.'''
    also ts(a) =2*a
    Bsp a=6
    2*6=1+2+3+6=12



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2020-04-06

    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    zu a):
    Ja, aber nur, wenn die Zahl selbst als Teiler zählt. Beispiel (28):

    \[1+2+4+7+14+28=56=2\cdot 28\]
    So gilt also \(\on{ts}(a)=2a\).

    In der Antike (aus dieser Zeit stammt dieses Problem) hat man das noch so gemacht, dass die Zahl selbst nicht mitgerechnet wurde. Und auch heutzutage findet man diese Definition bzw. Vorgehensweise sehr oft. Gleiches Beispiel:

    \[1+2+4+7+14=28\]
    Nach dieser Definition muss also \(\on{ts}(a)=a\) gelten.

    b) bis d) sind richtig wiedergegeben.

    Dein Beweis unter e) ist nach wie vor falsch. Er ist auch auf der verlinkten Webseite falsch!

    Warum übernimmst du denn die Version von StrgAltEntf aus Beitrag #6 nicht?

    Es soll der Satz von Euklid bewiesen werden, also bezieht sich der Teil e) auf den Teil b).


    Gruß, Diophant
    \(\endgroup\)


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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


    Hallo Diophant, ja ich werde alles lesen.
    Aber noch Frage kann man so sagen dieser Beweis, gibt für
    Satz(a) wenn
    ts(a)=2*a(wenn die Zahl  als Element der Teilersumme)
    und dieser Beweis gilt für Teil b wenn
    ts(a)=a (wenn die zahl nicht als Element der Teilersumme)



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    Nuramon
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-04-06


    Teil a) ist kein Satz, sondern eine Definition.
    In Teil b) steht ein Satz. Dieser Satz wird in Teil e) bewiesen.



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-04-06

    \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
    Hallo Ziad,

    2020-04-06 17:57 - ziad38 in Beitrag No. 22 schreibt:
    Aber noch Frage kann man so sagen dieser Beweis, gibt für
    Satz(a) wenn
    ts(a)=2*a(wenn die Zahl  als Element der Teilersumme)
    und dieser Beweis gilt für Teil b wenn
    ts(a)=a (wenn die zahl nicht als Element der Teilersumme)

    Nein, das kann man nicht sagen.

    Richtig ist:

  • Teil b) gilt unabhängig davon, ob man mit \(\on{ts}(a)=a\) oder \(\on{ts}(a)=2a\) arbeitet.

  • Der Beweis von StrgAltEntf und auch der falsche Versuch auf der verlinkten Webseite gelten nur für den Fall \(\on{ts}(a)=2a\).

    Im Fall  \(\on{ts}(a)=a\) müsste man den Beweis etwas anders führen. Der Beweis von StrgAltEntf würde dann ab der dritten Zeile etwas anders aussehen, da die Teilersummenfunktion in diesem Fall andere Werte annimmt.


    Gruß, Diophant

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]\(\endgroup\)


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    ziad38
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


    danke.
    wie schon gesagt freue mich wenn du später den Beweis für Teil(a) findes und mir schicken. betrage von  StrgAltEntf werde ich und auch andeere Beiträge lesen.



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    Diophant
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-04-06


    Hallo Ziad,

    jetzt wurde es schon mehrfach gesagt: Teil a) kann man nicht beweisen, das ist eine Definition.

    Unsere Katze hört* auf den Namen Lucky. Das kann ich auch nicht beweisen. Eines Tages kam sie zu uns und wir haben sie so genannt.

    Genauso hat man vor ca. 2500 Jahren Zahlen mit der beschriebenen Eigenschaft so benannt: "vollkommene Zahlen". Dass es solche Zahlen gibt, kann man ja durch Nachrechnen beweisen. Das ging schon vor 2500 Jahren. Soweit ich weiß, waren damals bereits die ersten vier dieser Zahlen, also 6, 28, 496 und 8128 bekannt. Wie viele man heute kennt, kannst du bei Wikipedia nachschlagen.

    Aber eine Definition kann man nicht beweisen. Das Wort Definition heißt auf Deutsch so viel wie Festlegung.


    Gruß, Diophant

    * oder auch nicht. ;-)




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    weird
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    2020-04-06 18:10 - ziad38 in Beitrag No. 25 schreibt:
    betrage von  StrgAltEntf werde ich und auch andeere Beiträge lesen.

    Ja, es wäre z.B. keine schlechte Idee, wenn du dir meine "Aufdröselung" des Beweises des Satzes von Euklid, also von Punkt b) oben, in 7 Einzelpunkte (s. #19) wenigstens einmal ansehen würdest. Wenn du sagst, "ne, das geht gar nicht, das ist mir ein Buch mit sieben Siegeln", dann ist das doch auch ein "Fortschritt", indem man dann weiß, dass es sich nicht lohnt hier weitere Mühe zu investieren. 🤔



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