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Analysis » Ungleichungen » Jensen-Ungleichung Beweis
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Universität/Hochschule Jensen-Ungleichung Beweis
emiiii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-04


Hallo ich verstehe einen Teil eines ganz bestimmten Jensen Ungleichung Beweises nicht. Und zwar wie genau ich Gleichung (1) beweise. Ich verstehe zwar, wie ich auf den linken Teil komme, aber nicht wie ich mit dem hinteren rechten Teil von (2) umgehen muss um auf den rechten Teil von (1) zu kommen.





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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,

der Trick ist, dass
\[\frac 1{\mu(\Omega)} \int_{\Omega}V(f(x)-\langle f \rangle)\d \mu = 0\]  ist. Siehst du, warum?

Wenn du mehr Fragen zu dem Beweis hast, dann wäre es gut, wenn du auch den vollständigen Satz, der bewiesen wird, wiedergibst. Sonst ist z.B. unklar was Teil (i) eigentlich aussagt.
\(\endgroup\)


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emiiii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Ich bin mir nicht ganz sicher. Ich denke aber dadurch, wenn man den Durchschnitt einsetzt.

Im ersten Teil musste man zeigen, dass auch der negative Teil von \([ J \circ f ]\) in \(L^1(\Omega)\) liegt.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Ja, an geeigneter Stelle muss man die Definition einsetzen.

Der erste Schritt ist aber die Linearität des Integrals:
\[ \int_{\Omega}V(f(x)-\langle f \rangle)\d \mu = V\left( \int_{\Omega}f(x)\d \mu - \int_{\Omega} \langle f\rangle\d \mu\right).\] Das hintere Integral kann man ausrechnen, da $\langle f \rangle$ eine Konstante ist.
\(\endgroup\)


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emiiii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-05


Vielen lieben Dank!!🤗



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