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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Abgeschlossenheit zeigen im Maximumprinzip
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Universität/Hochschule J Abgeschlossenheit zeigen im Maximumprinzip
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Guten Morgen

Ich versuche gerade einen Beweis des Maximumprinzip der harmonischen Funktionen zu verstehen und komme bei einem Punkt nicht weiter:
Aufgabenstellung: Sei $\Delta \ge 0$ in $\Omega$. Wir nehmen an $\exists$ ein $y \in \Omega$ so das $u(y)=sup_{\Omega}\;u$, so ist $u$ konstant.

Beweis: Wir definieren $M:= sup_{\Omega}\;u$ und $\Omega_M:=\{x \in \Omega: u(x)=M\}$. Da $u$ stetig ist, folgt dass $\Omega_M$ abgeschlossen in $\Omega$ ist.
Ich verstehe diese Schlussfolgerung nicht. Ich meine wir haben ja folgende Abbildung: $u: \Omega \to \Bbb R$ und wir wollen mit der Stetigkeit von $u$ argumentieren. Also müssen wir doch zeigen, dass $u^{-1}(\Omega_M)\subset \Bbb R$ offen ist in $\Bbb R$. Nun ist verstehe ich nicht wie sie so schnell $u^{-1}$ definiert haben.

Vielen Dank für euere Hilfe.
Grüsse,
Math_user

PS: War mir nicht sicher ob diese Frage eher Topologie oder Analysis betrifft. Habe mich mal für Topologie entschieden...



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-06


Hallo,

$\Omega_M = \{x\in\Omega\mid u(x)=M\}$ kann man auch schreiben als $\Omega_M = u^{-1}(\{M\})$, und da einpunktige Mengen in der Standardtopologie von $\IR$ abgeschlossen sind und $u$ stetig ist, ist somit auch $\Omega_M$ abgeschlossen.

Standardtrick.


[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von ligning]


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Immer diese Standardtrick die ich übersehe.. 🙃
Vielen Dank für deine Hilfe!



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