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Mathematik » Topologie » der euklidische Raum ist parakompakt
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Universität/Hochschule der euklidische Raum ist parakompakt
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Hallo zusammen

Ich versuche elementar zu zeigen dass Euklidische Raum $\Bbb R^n$ parakompakt ist. Dazu muss ich ja zeigen, dass jede offene Überdeckung von $\Bbb R^n$ eine lokal endliche und offene Verfeinerung besitzt.
Ich habe als Ansatzpunkt dass ich folgende Menge betrachten soll:
\[\{\overline{B}(0,a) - \overline{B}(0,a-1)\}\;\; a \in \Bbb N\] Dabei ist $\overline{B}(0,a)$ die abgeschlossene Kugel um 0 mit Radius a. Diese Kugel abgeschlossen sind und beschränkt. Betrachten wir also die Überdeckung solcher Kugel und wir erhalten die Überdeckung von $\Bbb R^n$. Da diese Kugel aber abgeschlossen sind und beschränkt erhalten wir mit Heine Borel dass es eine endliche offene Teilüberdeckung gibt. Nimmt man nun aus diesen Bällen einen kleinere Ball hinaus (aus dem Ball und den Mengen der Überdeckung) hat man immer noch eine endliche offene Überdeckung.
Wie mach ich nun weiter? Wie konstruiere ich noch eine lokal endliche offene Verfeinerung?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüsse,
Math_user



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-06

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Hallo Math_User,

Du hast ja schon für jede Kugel der Form $B(0,a)$ eine endliche (und damit lokal endliche) Teilüberdeckung (die damit auch eine Verfeinerung ist) gefunden. Damit willst du jetzt eine Überdeckung von ganz $\R^n$ konstruieren. Naheliegend wäre es, diese ganzen endlichen Teilüberdeckungen einfach zu vereinigen. Dabei ergibt sich nur das Problem, dass es eventuell Punkte $x\in\R^n$ gibt, die jetzt in unendlich vielen dieser offenen Mengen liegen. Um dieses Problem zu lösen, könntest du aus allen bis auf endlich vielen dieser offenen Mengen eine abgeschlossene Umgebung von $x$ herausschneiden. Zum Beispiel eine ausreichend große Kugel $\bar B(0,a)$.

Wenn beispielsweise $(U_i)_i$ die Überdeckung von ganz $\R^n$ ist, und $(U_{i_k})_{k=1,\dots,n}$ eine endliche Teilüberdeckung von $B(0,1)$ ist, dann schneide einfach aus allen $U_i$ die (abgeschlossene) Umgebung $\bar B(0,1)$ heraus, außer bei jenen, die du zur Überdeckung benötigst. Du erhältst dann eine Verfeinerung
\[(\tilde U_i)_{i\in\tilde I}\cup(U_{i_k})_{k=1,\dots,n}.\] Hier ist $\tilde I:=I-\{i_1,\dots,i_n\}$ und $\tilde U_i:=U_i-\bar B(0,1)$. Der rechte Teil der Vereingung ist da, um $B(0,1)$ zu überdecken, der linke Teil ist da, um den Rest von $\R^n$ zu überdecken. Der linke Teil schneidet $B(0,1)$ überhaupt nicht, und der rechte Teil ist endlich. Also ist diese Verfeinerung schonmal in $B(0,1)$ lokal endlich.

Jetzt überlege, wie du diese Verfeinerung weiterführen kannst, dass sie auch in $B(0,a),~a\in\N$ lokal endlich ist. Dann mach daraus eine Verfeinerung, die auch in ganz $\R^n$ lokal endlich ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06

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Hallo Vercassivelaunos,

Vielen Dank für deine Hilfe. Es sind ganz viele Informationen hier und ich versuche diese zu ordnen. Wie du merken wirst bin ich sehr neu in der Topologie und ich werde auch sehr viele Fehler und "dumme" Fragen stellen. Ich danke dir schon Mal für deine Hilfe und Geduld!

2020-04-06 14:40 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Du hast ja schon für jede Kugel der Form $B(0,a)$ eine endliche (und damit lokal endliche) Teilüberdeckung (die damit auch eine Verfeinerung ist) gefunden.
Dies haben wir aufgrund des Satz von Heine Borel, oder?

Okay nun wollen wir eine Verfeinerung finden die auch $B(0,a)$, $a \in \Bbb N$ lokal endlich ist. Können wir dies nicht analoge machen? Sprich sei nun wieder $(U_i)_i$ die Überdeckung von ganz $\Bbb R^n$ und $(U_{a_k})_{k=1, \dots, n}$ eine endliche Teilüberdeckung von $B(0,a)$. Dann können wir doch folgende Verfeinerung basteln:
\[(\tilde U_i)_{i\in\tilde I}\cup(U_{a_k})_{a=1,\dots,n}.\] Wobei auch hier folgendes gilt:  $\tilde I:=I-\{a_1,\dots,a_n\}$ und $\tilde U_i:=U_i-\bar B(0,a)$. Der rechte Teil der Vereingung ist da, um $B(0,a)$ zu überdecken, der linke Teil ist da, um den Rest von $\R^n$ zu überdecken. Der linke Teil schneidet $B(0,a)$ überhaupt nicht, und der rechte Teil ist endlich. Also ist doch dies analoge eine Verfeinerung in $B(0,a)$ die lokal endlich ist. Nun würde ich intuitiv sagen, ich nehme die Vereinigung dieser zwei Verfeinerung und erhalte eine lokale Verfeinerung von $1$ und $a$. Ich hoffe es steht nicht zu viel Blödsinn bis hier.

Nun wie meinst du eine Verfeinerung, die auch in ganz $\Bbb R^n$ lokal endlich ist. Das verstehe ich nicht.
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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-06

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Dies haben wir aufgrund des Satz von Heine Borel, oder?

Genau.

Zu deiner weiteren Konstruktion: Ziel soll ja sein, eine Verfeinerung zu finden, sodass es um jeden Punkt in $\R^n$ eine Umgebung gibt, die nur endlich viele Mengen aus der Überdeckung schneidet. Die Idee ist, dass jeder Punkt $x$ eine Kugel der Form $B(0,a)$ als Umgebung besitzt, wenn man $a$ nur groß genug wählt (nämlich $a>\Vert x\Vert$). Es reicht also, die Verfeinerung so zu konstruieren, dass jede solche Kugel nur endlich viele der Überdeckungsmengen schneidet.
Ich habe dir schonmal den Anfang gemacht, und eine Verfeinerung gefunden, sodass zumindest $B(0,1)$ nur endlich viele solcher Mengen schneidet. Jetzt soll die Verfeinerung aber so fortgeführt werden, dass jede Kugel diese Bedingung erfüllt. Du hast das jetzt so fortgeführt, dass du einfach für die nächstgrößere Kugel genau dieselbe Konstruktiun durchgeführt hast, und die beiden Verfeinerungen dann vereinigt hast. Es ist jetzt richtig, dass diese neue Verfeinerung sowohl für $B(0,1)$, als auch für eine neue Kugel $B(0,a)$ die geforderte Bedingung erfüllt. Das Problem ist, dass es für größere Kugeln noch nicht erfüllt ist. Wenn du diese Konstruktion unendlich oft durchführen würdest, um tatsächlich alle Kugeln abzuarbeiten, dann hättest du jetzt ein Problem: nämlich enthält die Überdeckung von $B(0,2)$ eventuell Mengen, die auch $B(0,1)$ schneiden, aber nicht bereits in der zuvor konstruierten Verfeinerung enthalten sind. Das selbe für $B(0,3),~B(0,4),~\dots$ sodass in der unendlichen Vereinigung eventuell doch wieder unendlich viele Mengen liegen, die $B(0,1)$ schneiden. Das wollen wir aber nicht.
Wenn du also die nächste Verfeinerung konstruierst, dann solltest du darauf achten, dass du keine neuen Mengen einbaust, die $B(0,1)$ schneiden. Mein Tipp: Wende doch mal die Konstruktion nicht auf die ursprüngliche Überdeckung an, sondern auf die im ersten Schritt konstruierte Verfeinerung.

Nun wie meinst du eine Verfeinerung, die auch in ganz $\R^n$ lokal endlich ist. Das verstehe ich nicht.

Nach endlich vielen Konstruktionsschritten haben wir zwar eine Verfeinerung, die nur endlich viele Mengen enthält, die eine endlich große Kugel $B(0,a)$ schneiden. Es soll aber jede beliebig große solche Kugel nur von endlich vielen Überdeckungsmengen geschnitten werden. Du musst also eine Verfeinerung angeben, die wirklich jede Kugel der Form $B(0,a)$ nur endlich oft schneidet. Nicht nur bis zu einem festen $a\in\N$, sondern für alle $a\in\N$.
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Tut mir leid, aktuell ist das Ganze noch sehr verschwommen für mich. Also deinem Tipp zu folge soll ich weiter machen mit der linken Seite der Vereinigung, also $(\tilde{U}_i)_{i \in \tilde{I}}$. Aber nicht mit einem $a \in \Bbb N$ sondern dieses mal mit einer Kugel $B(0,2)$ und dies dann immer so weiter und da $\Bbb N$ abzählbar ist, brauche ich nur endliche Schritt. Bis hier alles richtig? Aber ich sehe immer noch nicht weiter.... Auch sehe ich gar nicht wo ich meine Tipp/Anhaltspunkt in Beitrag 1 brauche.



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Hm, das stimmt, davon bin ich etwas weggegangen. Tut mir Leid, wir können aber natürlich aber auch nochmal mit dem Hinweis weitermachen.

Kannst du aus der Überdeckung $(U_i)_i$ eine endliche Teilmenge auswählen, die $\bar B(0,1)$ überdeckt?
Dann: Kannst du aus der Überdeckung eine endliche Teilmenge auswählen und so modifizieren, dass sie $\bar B(0,2)-\bar B(0,1)$ überdeckt, aber $B(0,1)$ nicht schneidet?
Dann: Kannst du aus der Überdeckung eine endliche Teilmenge auswählen und so modifizieren, dass sie $\bar B(0,3)-\bar B(0,2)$ überdeckt, aber $B(0,2)$ nicht schneidet?
Und so weiter...

Wenn du die so modifizierten Teilmengen wieder vereinigst, dann kannst du dir überlegen, dass du eine lokal endliche, offene Verfeinerung erhältst.
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