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Analysis » Funktionen » Konvexität im Innern und Stetigkeit im Randpunkt
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Universität/Hochschule Konvexität im Innern und Stetigkeit im Randpunkt
Mathze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Hallo Zusammen,

ich beiße mir schon seit geraumer Zeit die Zähne am Beweis einer anschaulich klaren Aussage aus. Ich möchte Beweisen, dass folgendes gilt:

Ist eine Funktion \(f:[a,b]\rightarrow \IR \) auf \((a,b)\) konvex und in den Endpunkten \(a,b\) stetig, so ist sie auf ganz \([a,b]\) konvex.

Hat jemand von euch einen Hinweis, wie ich das beweisen kann?

Vielen Dank!

Gruß Mathze



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viganme
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07


2020-04-06 23:57 - Mathze im Themenstart schreibt:

Ist eine Funktion \(f:[a,b]\rightarrow \IR \) auf \(a,b\) konvex

Hi Mathze,

ich denke du meinst hier konvex auf (a,b). Definiere dir zwei folgen mit
\(\lim_{n\to\infty}a_n=a\) und \(\lim_{n\to\infty}b_n=b\)
Aufgrund der Stetigkeit in [a,b] gilt auch
\(\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a)\) und \(\lim_{n\to\infty}f(b_n)=f(b)\)
und schau dir jetzt noch die Definition von Konvexität an
\[f((1-\lambda)x_1+\lambda x_2)\leq (1-\lambda)*f(x_1)+\lambda f(x_2)\] für \(\lambda\in [0,1]\)
Das sollte zur gewünschten Aussage führen.

Lg



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Mathze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-09


Hallo Viganme,

vielen Dank für deinen Tipp. Ich habe jetzt folgende Lösung gefunden: Nach Voraussetzung gilt

\[f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)\quad \forall a<x<y<b,0<\lambda<1.\]
Zuerst kümmere ich mich um den Randpunkt \(b \), indem ich zeige, dass

\[f((1-\lambda)x+\lambda b) (1-\lambda)f(x)+\lambda f(b)\quad \forall a<x<b,0<\lambda<1.\]
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Dadurch erhalte ich zusammen mit der Voraussetzung, dass gilt:

\( \forall a<x<y\leq b,0<\lambda<1: f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda b\).

Zuletzt kümmere ich mich in analoger Weise um den Randpunkt \(a \), indem ich zeige, dass gilt:

\( \forall a<y\leq b,0<\lambda<1: f((1-\lambda)a+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(a)+\lambda f(y)\).

Sieht das so gut aus? Meiner Meinung nach kommt man hier nicht darum herum, sequentiell vorzugehen.



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viganme
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-10


2020-04-09 22:25 - Mathze in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Viganme,

vielen Dank für deinen Tipp. Ich habe jetzt folgende Lösung gefunden: Nach Voraussetzung gilt

\[f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)\quad \forall a<x<y<b,0<\lambda<1.\]
Zuerst kümmere ich mich um den Randpunkt \(b \), indem ich zeige, dass

\[f((1-\lambda)x+\lambda b) (1-\lambda)f(x)+\lambda f(b)\quad \forall a<x<b,0<\lambda<1.\]
fed-Code einblenden
Dadurch erhalte ich zusammen mit der Voraussetzung, dass gilt:

\( \forall a<x<y\leq b,0<\lambda<1: f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda b\).

Zuletzt kümmere ich mich in analoger Weise um den Randpunkt \(a \), indem ich zeige, dass gilt:

\( \forall a<y\leq b,0<\lambda<1: f((1-\lambda)a+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(a)+\lambda f(y)\).

Sieht das so gut aus? Meiner Meinung nach kommt man hier nicht rdrumrun, sequentiell vorzugehen.

Hi Mathze,

Ja, dass sieht gut aus, ich hätte es nicht anders gemacht.
2020-04-09 22:25 - Mathze in Beitrag No. 2 schreibt:
\( \forall a<x<y\leq b,0<\lambda<1: f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda b\).
Hier brauchst du garnicht y erwähnen, lass y gegen b laufen und dann gilt auch diese Ungleichung, lässt du y dort stehen, gilt die Ungleichung zwar trotzdem wegen a<x<y<b, aber das ist ja nicht die gewünschte Aussage. (das es f(b) heißen sollte, ist wahrscheinlich nur ein Tippfehler)
Edit: Lambda kann auch den Wert 0 oder 1 annehmen.



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Mathze
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-22


Hallo Zusammen,

nachdem ich die Aussage für eine konvexe Funktion \(f \) gezeigt habe, würde ich eine gerne die analoge Aussage für eine streng konvexe Funktion \(f \) zeigen. Leider klappt der Beweis nicht analog, da aus \(f(x) < g(x)\) nicht folgt, dass \( \lim\limits_{x \to y}f(x)<\lim\limits_{x \to y}g(x) \). Leider fehlt mir ein Ansatz. Hat jemand einen Tipp?



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