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Mathematik » Stochastik und Statistik » Kontinuierliche Zufallsvariable potenzieren und eine diskrete Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen
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Universität/Hochschule J Kontinuierliche Zufallsvariable potenzieren und eine diskrete Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen
Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-10


Hallo an alle,

für eine Hausübung habe ich eine Aufgabe bekommen, die mich aktuell etwas zur Verzweiflung bring. Das Skriptum zur Vorlesung ist leider auch nur begrenzt brauchbar. Ich hoffe jemand hier kann mir weiterhelfen.

Zur Aufgabe:
Es ist eine kontinuierliche Zufallsvariable X (Element reelle Zahlen) gegeben, welche eine Dichte von f_X(x) hat. Für n (Element natürliche Zahlen) und k>0 gilt:
Y=k*X^n

Ich soll nun zuerst allgemein einen Ausdruck für f_Y(y) angeben.
Im Weiteren soll ich f_Y(y) für konkretere Zahlenwerte bestimmen und skizzieren.
Hinweise: F_Y(y)=P{Y<=y} und f_Y(y)=(F_Y(y))^'. Außerdem soll für n gerade und ungerade unterschieden werden. (F ist die Verteilungsfunktion)

Dazu habe ich nun zu Beginn ein paar grundlegende Fragen:
* Wie hängt die Zufallsvariable mit der Dichtefunktion zusammen? In meinen Augen sind die Verteilungsfunktion und die Zufallsvariable dasselbe? Wenn nicht, wie kann ich dann X bestimmen?
* Wie kann ich eine Zufallsvariable potenzieren? Ich weiß, dass eine Addition zweier unabhängiger Zufallsvariablen zur Faltung dessen Dichtefunktionen führt (jedoch nicht wieso). Alles Weitere ist mir unbekannt.
* Wieso sollte ich eine Unterscheidung zwischen n gerade und n ungerade durchführen?

Ich wäre über jegliche Hilfe sehr froh...

LG,
Florian



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

mal als Denkanstoß zu Beginn:

2020-04-10 18:27 - Flo94 im Themenstart schreibt:
* Wieso sollte ich eine Unterscheidung zwischen n gerade und n ungerade durchführen?

Es soll ja letztendlich die Verteilungsfunktion von Y mit Hilfe der bekannten Verteilung von X ausgedrückt werden. Die Verteilungsfunktion von \(F_Y(y)\) liefert ja die Wahrscheinlichkeit \(P(Y\le y)\) zurück und auf der anderen Seite gilt der Zusammenhang \(Y=k\cdot X^n\).

Je nach Vorgehensweise musst du irgendwann die letztgenannte Gleichung nach x auflösen. Und da macht es einen gewaltigen Unterschied, ob n gerade oder ungerade ist (weshalb?).

Ist das so gegeben wie gepostet, also mit beliebiger Dichte bzw. Verteilung von X? Dann geht es bei den Skizzen ja auch nur um ein selbstgewähltes Beispiel.

Die Bedeutung der Verteilungsfunktion habe ich ja oben schon kurz angerissen. Für stetige Verteilungen ist der Zusammenhang zwischen Dichte und Verteilung ganz einfach: \(F'(x)=f(x)\). Heißt: die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Hallo Diophant, danke für die Rückmeldung.

ist das Absicht, dass du für X und Y Kleinbuchstaben verwendest, also sind x und y bei dir trotzdem eine Zufallsvariable? Wenn ich nach X umforme erhalte ich ja X=(Y/K)^(1/n). In welcher Form ist dies nun zielführend?

Ja Angabe ist enau so. Im Punkt a soll dies allgemein ermittelt werden und in Punkt b dann mit gegebener Dichte für X und mehrere verschiedene Werte von n und k... Somit ist zuerst nur a relevant, also allgemeine Berechnung...



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

zwei Dinge:

- Wenn \(X\) bzw. \(Y\) Zufallsvariablen sind, dann meint man mit \(x\) bzw. \(y\) konkrete Werte dieser ZVen.

- Was bedeutet denn die Rechenoperation "^(1/n)", da sollte es doch klingeln in Sachen Potenzgesetze. Und was uns hier insbesondere interessiert ist die Frage, ob man diese Gleichung eindeutig umstellen kann oder nicht. Und das hängt eben von n ab...

Ein Anfang wäre bspw. folgende Betrachtung:

\[F(y)=P(Y\le y)=P(k\cdot X^n\le y)=\dotsc\]
Wie könnte man hier denn weitermachen (Tipp: jetzt wird sofort die Fallunterscheidung wichtig)?

Nachtrag: ich habe dir hier einmal einen alten Thread herausgesucht, in welchem die beiden möglichen Vorgehensweisen kurz angesprochen werden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


Ich habe aber keine konkreten Werte?

Naja die n-te Wurzel halt... da kann ich doch alles außer 0 einsetzen?
Wenn ich annehme, dass auch diese umgestellte Gleichung dann durch Differentiation zurück auf die Dichte bringe, erhalte ich 1/n*x^(n-1)und n darf nun weder 0, noch 1 sein?

Nochmals die wichtigste Fragestellung für mich: wie hängt die Zufallsvariable mit der Verteilungs- oder Dichtefunktion zusammen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-04-10 19:17 - Flo94 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich habe aber keine konkreten Werte?

Doch, jede Menge. Jeweils den gesamten Wertebereich der ZV, Wert für Wert...

2020-04-10 19:17 - Flo94 in Beitrag No. 4 schreibt:
Naja die n-te Wurzel halt... da kann ich doch alles außer 0 einsetzen?
Wenn ich annehme, dass auch diese umgestellte Gleichung dann durch Differentiation zurück auf die Dichte bringe, erhalte ich 1/n*x^(n-1)und n darf nun weder 0, noch 1 sein?

Ganz so einfach ist das nicht, und dein Vorwissen über Wurzeln ist auch lückenhaft. Wurzeln sind für nichtnegative Zahlen definiert, um mal irgendwo zu beginnen.

Dann: Die Gleichung \(y=x^n\) hat für gegebenes \(y\)

- eine Lösung, wenn n ungerade und
- zwei Lösungen, wenn n gerade ist.

Auf der anderen Seite darf im ersten Fall (n ungerade) y auch negativ sein, im zweiten Fall jedoch nicht.

Es geht hier um folgendes Problem. Man muss die Verteilungsfunktion von Y (oder die Dichtefunktion) mit Hilfe der Verteilungsfunktion von X (oder deren Dichtefunktion) ausdrücken, indem man für die Menge \(Y\le y\) über die Transformationsgleichung (hier \(Y=k\cdot X^n\)) das zugehörige Urbild \(X=f^{(-1)}(Y)\) in der Wertemenge der ZV X findet und damit die Wahrscheinlichkeit \(P(Y\le y)\) mit Hilfe der Verteilungsfunktion von X ausdrücken.

Hast du dir den Thread angesehen, den ich in Beitrag #3 nachträglich noch verlinkt habe (sorry, den musste ich erst heraussuchen)?

2020-04-10 19:17 - Flo94 in Beitrag No. 4 schreibt:
Nochmals die wichtigste Fragestellung für mich: wie hängt die Zufallsvariable mit der Verteilungs- oder Dichtefunktion zusammen?

Wie jetzt schon mehrfach gesagt (unter anderem in der Aufgabenstellung): es ist \(F(x)=P(X\le x)\) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Diese Funktion liefert also Wahrscheinlichkeiten dafür zurück, dass \(X\) einen Wert von \(x\) oder kleiner annimmt. Und die Dichtefunktion ist im stetigen Fall die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Mir scheint, dass du vor der Bearbeitung dieser Aufgabe nochmal kurz die wichtigsten Grundlagen rund um (stetige) Verteilungsfunktionen recherchieren solltest...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 18:27 - Flo94 im Themenstart schreibt:
 
Zur Aufgabe:
Es ist eine kontinuierliche Zufallsvariable X (Element reelle Zahlen) gegeben, welche eine Dichte von f_X(x) hat. Für n (Element natürliche Zahlen) und k>0 gilt:
Y=k*X^n

Ich soll nun zuerst allgemein einen Ausdruck für f_Y(y) angeben.
Im Weiteren soll ich f_Y(y) für konkretere Zahlenwerte bestimmen und skizzieren.
Hinweise: F_Y(y)=P{Y<=y} und f_Y(y)=(F_Y(y))^'. Außerdem soll für n gerade und ungerade unterschieden werden. (F ist die Verteilungsfunktion)

Dazu habe ich nun zu Beginn ein paar grundlegende Fragen:
* Wie hängt die Zufallsvariable mit der Dichtefunktion zusammen? In meinen Augen sind die Verteilungsfunktion und die Zufallsvariable dasselbe? Wenn nicht, wie kann ich dann X bestimmen?

Moin, Ausgangspunkt ist die kontinuierliche Zufallsvariable $X$. Die musst du nicht bestimmen, sie ist vorgegeben. Sie besitzt eine bestimmte Verteilung. Diese wird eindeutig festgelegt durch ihre *Verteilungsfunktion* $F_X$ mit $P(X\le x)=F_X(x)$. Insofern sind $X$ und $F_X$ nicht dasselbe. Andererseits ist die Verteilung auch festgelegt durch ihre *Dichte* $f_X$ mit $f_X=F_X'$.

2020-04-10 18:27 - Flo94 im Themenstart schreibt:
 
* Wie kann ich eine Zufallsvariable potenzieren? Ich weiß, dass eine Addition zweier unabhängiger Zufallsvariablen zur Faltung dessen Dichtefunktionen führt (jedoch nicht wieso). Alles Weitere ist mir unbekannt.

Betrachte den Fall $n=2$, also $Y=X^2$. Waehle $y>0$. Das Ereignis $(Y= y)$ realisiert sich genau dann, wenn sich $(X=-\sqrt{y})$ oder $(X=+\sqrt{y})$ realisiert. Damit ist $Y$ eine Zufallsvariable mit einer Verteilung. Willst du sie bestimmen, so ist es zweckmaessig, ihre Verteilungsfunktion zu bestimmmen: $F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt{y}\le X\le +\sqrt{y})=\ldots$ Danach kannst du $f_Y$ bestimmen.

2020-04-10 18:27 - Flo94 im Themenstart schreibt:
 
* Wieso sollte ich eine Unterscheidung zwischen n gerade und n ungerade durchführen?
 

Beachte, dass oben $n=2$ *gerade* und $y>0$ ist. (Die Wahl $y\le0$ ist trivial ...) Fuer $n$ ungerade kannst du $y\in\IR$ beliebig waehlen.

vh Luis

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


@Diophant:
Mein Wissen ist nicht lückenhaft. Wurzeln sind für negative EXPONENTEN sehrwohl definiert. Ist ja nur die Umkehrfunktion!

@luis52:
Vielen Dank für die brauchbare Rückmeldung!

Ok, also ist die Zufallsvariable immer über die Dichte oder Verteilung bestimmt und ist nur ein Mittel zum Zweck?

Wenn ich f_y aus F_y bestimmen möchte, muss ich ja F_y ableiten. Was leite ich dann ab? P(X^2<=y)? Wie soll ich das machen?

Die < oder > Unterscheidung verstehe ich nicht ganz. Wieso muss ich diese durchführen für gerade n? Wieso gibt es überhaupt eine Unterscheidung in gerade und ungerade?

Entweder stehe ich sehr auf dem Schlauch oder ich verstehe zu wenig. Aber für mich ist das alles sehr suspekt...



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-10


2020-04-10 21:05 - Flo94 in Beitrag No. 7 schreibt:


Ok, also ist die Zufallsvariable immer über die Dichte oder Verteilung bestimmt und ist nur ein Mittel zum Zweck?

Die Zufallsvariable wird nicht bestimmt, sie ist *gegeben*.  Zu ihren Eigenschaften gehoert ihre Verteilung und damit die F-Fkt und Dichte.
 
2020-04-10 21:05 - Flo94 in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn ich f_y aus F_y bestimmen möchte, muss ich ja F_y ableiten. Was leite ich dann ab? P(X^2<=y)? Wie soll ich das machen?

Ich mache mal oben weiter (jetzt aber mit dem Faktor $k$):

$F_Y(y)=P(kX^2\le y)=P(X^2\le y/k)=P(-\sqrt{y/k}\le X\le +\sqrt{y/k})=F_X(\sqrt{y/k})-F_X(-\sqrt{y/k})$.

Und diesen Ausdruck kannst du nun nach $y$ ableiten.

2020-04-10 21:05 - Flo94 in Beitrag No. 7 schreibt:

Die < oder > Unterscheidung verstehe ich nicht ganz. Wieso muss ich diese durchführen für gerade n? ieso gibt es überhaupt eine Unterscheidung in gerade und ungerade?
 

Du musst die Fallunterscheidung machen, weil $kx^{2m}$ im Gegensatz zu $kx^{2m+1}$ nicht streng monoton steigt.

Mach' mal eine Skizze von $y=3x^2$ bzw. von $y=3x^3$ im Intervall $[-3,+3]$. Bestimme dann auf der Abszisse alle x-Werte, fuer die die gilt $y\le4$ ...


vg Luis



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-11


2020-04-10 21:28 - luis52 in Beitrag No. 8 schreibt:

Ich mache mal oben weiter (jetzt aber mit dem Faktor $k$):

$F_Y(y)=P(kX^2\le y)=P(X^2\le y/k)=P(-\sqrt{y/k}\le X\le +\sqrt{y/k})=F_X(\sqrt{y/k})-F_X(-\sqrt{y/k})$.

Und diesen Ausdruck kannst du nun nach $y$ ableiten.

Ok, jetzt verstehe ich es ein Bisschen. Nur der letzte Schritt ist mir nicht ganz klar. Wie kommst du da auf die Differenz?

Abgeleitet bekomme ich dann 1/y*(y/k)^(1/2) raus.

Und für n: 2/(n*y)*(y/k)^(1/n) <- soll das nun das Ergebnis sein?

2020-04-10 21:28 - luis52 in Beitrag No. 8 schreibt:
Du musst die Fallunterscheidung machen, weil $kx^{2m}$ im Gegensatz zu $kx^{2m+1}$ nicht streng monoton steigt.

Mach' mal eine Skizze von $y=3x^2$ bzw. von $y=3x^3$ im Intervall $[-3,+3]$. Bestimme dann auf der Abszisse alle x-Werte, fuer die die gilt $y\le4$ ...
Achso, dann ist die FUNKTION gerade oder ungerade. Aber das darf sie doch sein? Ist ja nirgens ein Betrag von Nöten? Oder darf die Dichte/Verteilung nicht negativ sein?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-04-11


2020-04-11 11:00 - Flo94 in Beitrag No. 9 schreibt:
 

Ok, jetzt verstehe ich es ein Bisschen. Nur der letzte Schritt ist mir nicht ganz klar. Wie kommst du da auf die Differenz?
$
\begin{align*}
P\left(-\sqrt{y/k}\le X\le +\sqrt{y/k}\right)
&=\int_{-\sqrt{y/k}}^{\sqrt{y/k}}f_X(t)\,dt\\
&=\int_{-\infty}^{\sqrt{y/k}}f_X(t)\,dt-\int_{-\infty}^{-\sqrt{y/k}}f_X(t)\,dt\\
&=F_X\left(\sqrt{y/k}\right)-F_X\left(-\sqrt{y/k}\right)\\
&=F_Y(y)
\end{align*}
$



2020-04-11 11:00 - Flo94 in Beitrag No. 9 schreibt:
Abgeleitet bekomme ich dann 1/y*(y/k)^(1/2) raus.

Und für n: 2/(n*y)*(y/k)^(1/n) <- soll das nun das Ergebnis sein?

Gruebel, gruebel? Wie das? *Ich* erhalte:

$f_Y(y)=F_Y'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{k/y}}\left(f_X\left(\sqrt{y/k}\right)+f_X\left(-\sqrt{y/k}\right)\right)$



2020-04-10 21:28 - luis52 in Beitrag No. 8 schreibt:
Du musst die Fallunterscheidung machen, weil $kx^{2m}$ im Gegensatz zu $kx^{2m+1}$ nicht streng monoton steigt.

Mach' mal eine Skizze von $y=3x^2$ bzw. von $y=3x^3$ im Intervall $[-3,+3]$. Bestimme dann auf der Abszisse alle x-Werte, fuer die die gilt $y\le4$ ...
Achso, dann ist die FUNKTION gerade oder ungerade. Aber das darf sie doch sein? Ist ja nirgens ein Betrag von Nöten? Oder darf die Dichte/Verteilung nicht negativ sein?

Hier verstehe ich nicht, was du meinst ... Natuerlich *darf* sie das sein. Nur musst du die beiden Faelle unterschiedlich behandeln:

$n=2$: Sei $y>0$. Dann ist $P(3X^2\le y)=P(-\sqrt{y/3}\le X\le +\sqrt{y/3})$ ...

$n=3$: Sei $y\in\IR$ (!). Dann ist $P(3X^3\le y)=P(X\le +\sqrt[3]{y/3})$ ...



vg Luis



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Flo94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-11


2020-04-11 12:49 - luis52 in Beitrag No. 10 schreibt:

$
\begin{align*}
P\left(-\sqrt{y/k}\le X\le +\sqrt{y/k}\right)
&=\int_{-\sqrt{y/k}}^{\sqrt{y/k}}f_X(t)\,dt\\
&=\int_{-\infty}^{\sqrt{y/k}}f_X(t)\,dt-\int_{-\infty}^{-\sqrt{y/k}}f_X(t)\,dt\\
&=F_X\left(\sqrt{y/k}\right)-F_X\left(-\sqrt{y/k}\right)\\
&=F_Y(y)
\end{align*}
$
Ok, das macht sogar Sinn, wäre nur selber nie drauf gekommen!

2020-04-11 12:49 - luis52 in Beitrag No. 10 schreibt:

Gruebel, gruebel? Wie das? *Ich* erhalte:

$f_Y(y)=F_Y'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{k/y}}\left(f_X\left(\sqrt{y/k}\right)+f_X\left(-\sqrt{y/k}\right)\right)$
Ja da stand ich wohl auf dem Schlauch und habe das falsche für F eingesetzt ...

2020-04-11 12:49 - luis52 in Beitrag No. 10 schreibt:
Hier verstehe ich nicht, was du meinst ... Natuerlich *darf* sie das sein. Nur musst du die beiden Faelle unterschiedlich behandeln:

$n=2$: Sei $y>0$. Dann ist $P(3X^2\le y)=P(-\sqrt{y/3}\le X\le +\sqrt{y/3})$ ...

$n=3$: Sei $y\in\IR$ (!). Dann ist $P(3X^3\le y)=P(X\le +\sqrt[3]{y/3})$ ...
Achso wegen dem Argument von P()! Vetzt blicke ich durch!

Vielen Dank! Habe es nun soweit verstanden 🙂
War ein sehr grundlegendes Beispiel, hat einiges geholfen!



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2020-04-10 21:28 - luis52 in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Zufallsvariable wird nicht bestimmt, sie ist *gegeben*.  Zu ihren Eigenschaften gehoert ihre Verteilung und damit die F-Fkt und Dichte.

So ganz verstehe ich es leider doch noch nicht...

Ich soll in der nächsten Aufgabe \(p_Y(y)\) berechnen für \(Y=H·X\).
Dabei ist \(P(X=x)=1/3\) für \(x=-1\) und \(P(X=x)=3/4\) für \(x=1\) (sonst 0) bzw. \(P(H=h)=(1-p_h)\) für \(h=-1\) und \(P(H=h)=p_h\) für \(h=1\) (sonst 0).

Also ist es eine diskrete Verteilung.
Jetz verstehe ich nicht ganz wie der Zusammenhang zwischen \(p_Y(y)\) und \(Y\) ist...

Soweit ich das verstanden habe, kann ich die Zufallsvariablen mit
\[\sum \limits_{i=-∞}^{∞}f_x (i)·f_h (y/i)·1/|i|\] berechnen.

Jetzt weiß ich nur nicht, wie ich von den Wahrscheinlichkeiten und Werten oben auf die Dichten komme und nach der Multipilkation wieder von den Dichten zur Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von y?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-04-16


Moin, so ohne Weiteres laesst sich die Frage nicht beantworten, wenn die gemeinsame Verteilung von $H$ und $X$ nicht bekannt ist. Sind sie vielleicht *unabhaengig*?

vg Luis



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-16


2020-04-16 10:12 - luis52 in Beitrag No. 13 schreibt:
Moin, so ohne Weiteres laesst sich die Frage nicht beantworten, wenn die gemeinsame Verteilung von $H$ und $X$ nicht bekannt ist. Sind sie vielleicht *unabhaengig*?

vg Luis

Achso ja habe ich ganz vergessen zu erwähnen, sind unabhängig!



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-04-16


2020-04-16 10:17 - Flo94 in Beitrag No. 14 schreibt:
 
Achso ja habe ich ganz vergessen zu erwähnen, sind unabhängig!

Sso! 😒

Naja, dann gilt z.B. $P(Y=1)=P(H=-1,X=-1)+P(H=1,X=1)=\ldots$



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-16


2020-04-16 10:25 - luis52 in Beitrag No. 15 schreibt:
Sso! 😒

Ja in meiner Welt gibt es aktuell nur unabhängige Variablen 😁


2020-04-16 10:25 - luis52 in Beitrag No. 15 schreibt:
Naja, dann gilt z.B. $P(Y=1)=P(H=-1,X=-1)+P(H=1,X=1)=\ldots$

Und wieso geht z.B. $P(H=1,X=-1)$ nicht?

Und für $P(H=-1,X=-1)$ setze ich dann die Wahrscheinlichkeit ein und erhalte $(1-p_h)*1/4$?

Ich soll das dann skizzieren. Also trage ich auf die y-Achse die Wahrscheinlichkeit $p$ auf, aber was auf die x-Achse? $y$?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-04-16


2020-04-16 11:12 - Flo94 in Beitrag No. 16 schreibt:

Und wieo geht z.B. $P(H=1,X=-1)$ nicht?
Doch, das "geht" auch, s.u.

2020-04-16 11:12 - Flo94 in Beitrag No. 16 schreibt:
Und für $P(H=-1,X=-1)$ setze ich dann die Wahrscheinlichkeit ein und erhalte $(1-p_h)*1/4$?

In der Aufgabe geht es darum, die Verteilung von $Y=H\cdot X$ zu bestimmen, wobei $H$ und $X$ unabhaengig sind.

Zunaechst musst du klaeren, welche Werte $Y$ annimmt. Je nachdem, wie du Werte von $H$ mit Werten von $X$ kombinierst (alles ist moeglich, da $H$ und $X$ unabhaengig sind) sind das $-1$ und $+1$.  Es ist

\[p_Y(1)=P(Y=1)=P(H=-1,X=-1)+P(H=1,X=1)=P(H=-1) P(X=-1)+P(H=1) P(X=1)\]
so dass $p_Y(-1)=1-p_Y(1)$ und $p_Y(y)=0$ sonst.

Uebrigens, hier ist irgendwo der Wurm drin: $P(X=-1)+P(X=1)=1/3+3/4>1$.
 
2020-04-16 11:12 - Flo94 in Beitrag No. 16 schreibt:
Ich soll das dann skizzieren. Also trage ich auf die y-Achse die Wahrscheinlichkeit $p$ auf, aber was auf die x-Achse? $y$?

Zeichne einen Balken der Hoehe $p_Y(-1)$ bzw. $p_Y(1)$ bei $y=-1$ bzw. bei $y=1$.

vg Luis





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Flo94
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Macht soweit Sinn, jedoch:

2020-04-16 15:05 - luis52 in Beitrag No. 17 schreibt:
\[p_Y(1)=P(Y=1)=P(H=-1,X=-1)+P(H=1,X=1)=P(H=-1) P(X=-1)+P(H=1) P(X=1)\]

habe ich das richtig aufgefasst, dass immer nur positive und negative H- bzw. X-Vorzeichen kombiniert werden, weil das Argument von p positiv ist?


2020-04-16 15:05 - luis52 in Beitrag No. 17 schreibt:
Uebrigens, hier ist irgendwo der Wurm drin: $P(X=-1)+P(X=1)=1/3+3/4>1$.

Ich habe da ein Tippfehler drinnen, sollte 1/4 und nicht 1/3 sein...


2020-04-16 15:05 - luis52 in Beitrag No. 17 schreibt:
Zeichne einen Balken der Hoehe $p_Y(-1)$ bzw. $p_Y(1)$ bei $y=-1$ bzw. bei $y=1$.

Jetzt macht das auch Sinn...


Gibt es irgendwo Websites in denen solche Grundlagen KOMPAKT vermittelt werden?



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luis52
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2020-04-16 15:54 - Flo94 in Beitrag No. 18 schreibt:
 

habe ich das richtig aufgefasst, dass immer nur positive und negative H- bzw. X-Vorzeichen kombiniert werden, weil das Argument von p positiv ist?


Ja.

 

2020-04-16 15:54 - Flo94 in Beitrag No. 18 schreibt:
Gibt es irgendwo Websites in denen solche Grundlagen KOMPAKT vermittelt werden?

Ja, im Matheplanet. Wir koennen noch kompakter! ;-)

Ansonsten gebe ich die Frage mal weiter ...

vg Luis



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Flo94
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2020-04-16 16:25 - luis52 in Beitrag No. 19 schreibt:
2020-04-16 15:54 - Flo94 in Beitrag No. 18 schreibt:
Gibt es irgendwo Websites in denen solche Grundlagen KOMPAKT vermittelt werden?

Ja, im Matheplanet. Wir koennen noch kompakter! 😉

Das ist natürlich noch optimaler! 🙂

Ich habe nämlich noch einen Unterpukt, auf den ich nicht ganz komme. Ich habe zuvor für die selbe Angabe wie vorher die Wahrscheinlichkeit $p(y|X=1)$ und $p(y|X=-1)$ berechnet, indem ich das folgende angeschrieben habe:
$p(y|X=1)=p_X(X=1)*p_H(H=1)+p_X(X=1)*p_H(H=2)=1/4*(1-p_h)+1/4*p_h=1/4$
Stimmt das so?

Und jetzt soll ich das folgende herleiten: wenn Y=X*H ein negatives Vorzeichen besitzt, wird angenommen, dass X=-1 war und wenn es positiv ist, dass X=1 war -> wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in beiden Fällen?

Ich hätte das jetzt als die Gegenwahrscheinlichkeit von $p(y|X=1)$ bzw. $p(y|X=-1)$ interpretiert, also $p_E(Y=1)=1-p(y|X=1)$.
Ist das richtig?



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luis52
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2020-04-16 17:56 - Flo94 in Beitrag No. 20 schreibt:
 
Ich habe nämlich noch einen Unterpukt, auf den ich nicht ganz komme. Ich habe zuvor für die selbe Angabe wie vorher die Wahrscheinlichkeit $p(y|X=1)$ und $p(y|X=-1)$ berechnet, indem ich das folgende angeschrieben habe:
$p(y|X=1)=p_X(X=1)*p_H(H=1)+p_X(X=1)*p_H(H=2)=1/4*(1-p_h)+1/4*p_h=1/4$
Stimmt das so?

Puh, das ist sehr wirr! Wenn ich das richtig verstehe, sollst du zwei bedingte Verteilungen  bestimmen, naemlich die von $(Y|X=1)$ und  die von $(Y|X=-1)$  ...

Koennen wir uns zunaechst darauf einigen, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $Y$ so aussieht?

$
p_Y(y)=P(Y=y)=
\begin{cases}
        \dfrac{1+2p}{4},& \text{$y=1$;}    \\
        \dfrac{3-2p}{4},& \text{$y=-1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$    

Die (bedingte) Wahrscheinlichkeitsfunktion z.B. von $(Y\mid X=-1)$ nimmt dann auch zwei Werte an, naemlich $-1$ und $+1$. Nutze die alte Bauernregel aus:

$P(Y=-1\mid X=-1)=\dfrac{P(Y=-1\cap X=-1)}{P(X=-1)} \ldots$ usw.





2020-04-16 17:56 - Flo94 in Beitrag No. 20 schreibt:
 
Und jetzt soll ich das folgende herleiten: wenn Y=X*H ein negatives Vorzeichen besitzt, wird angenommen, dass X=-1 war und wenn es positiv ist, dass X=1 war -> wie hoch ist die Fehlerwahrscheinlichkeit in beiden Fällen?

Ich hätte das jetzt als die Gegenwahrscheinlichkeit von $p(y|X=1)$ bzw. $p(y|X=-1)$ interpretiert, also $p_E(Y=1)=1-p(y|X=1)$.
Ist das richtig?

Hier weiss ich wieder nicht, was gemeint ist. Was willst du *herleiten*? Kannst du vllt mal die genaue Aufgabenstellung mitteilen?

vg Luis



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2020-04-16 20:30 - luis52 in Beitrag No. 21 schreibt:
Koennen wir uns zunaechst darauf einigen, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $Y$ so aussieht?

$
p_Y(y)=P(Y=y)=
\begin{cases}
        \dfrac{1+2p}{4},& \text{$y=1$;}    \\
        \dfrac{3+2p}{4},& \text{$y=-1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$    

Fast, das mittlere lautet $\dfrac{3-2p}{4}$.

Sorry für die unklare Angabe, hier das Original:

Dabei ist $x_1=-1$ und $x_2=1$. Und eben $Y=H*X$ (beide unabhängig), wie weiter oben erwähnt.



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2020-04-17 09:33 - Flo94 in Beitrag No. 22 schreibt:
2020-04-16 20:30 - luis52 in Beitrag No. 21 schreibt:
Koennen wir uns zunaechst darauf einigen, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $Y$ so aussieht?

$
p_Y(y)=P(Y=y)=
\begin{cases}
        \dfrac{1+2p}{4},& \text{$y=1$;}    \\
        \dfrac{3+2p}{4},& \text{$y=-1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$    

Fast, das mittlere lautet $\dfrac{3-2p}{4}$.

Da hast du natuerlich recht, ich hab's korrigiert.

2020-04-17 09:33 - Flo94 in Beitrag No. 22 schreibt:
2020-04-16 20:30 - luis52 in Beitrag No. 21 schreibt:

Sorry für die unklare Angabe, hier das Original:

Dabei ist $x_1=-1$ und $x_2=1$. Und eben $Y=H*X$ (beide unabhängig), wie weiter oben erwähnt.

Mir scheint es gerechtfertigt zu sein, unter $X$ den "Sender" zu verstehen, der die Signale $x_1=-1$ bzw. $x_2=1$ verschickt.

Angenommen der Empfaenger "hoert" $y=-1$. Er taeuscht sich, wenn $X=1$ gesandt wurde. Demnach ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $P(X=1\mid Y=-1)$ gesucht.

vg Luis



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2020-04-17 11:44 - luis52 in Beitrag No. 23 schreibt:
Da hast du natuerlich recht, ich hab's korrigiert.

Perfekt, danke!


2020-04-17 11:44 - luis52 in Beitrag No. 23 schreibt:
Mir scheint es gerechtfertigt zu sein, unter $X$ den "Sender" zu verstehen, der die Signale $x_1=-1$ bzw. $x_2=1$ verschickt.

Angenommen der Empfaenger "hoert" $y=-1$. Er taeuscht sich, wenn $X=1$ gesandt wurde. Demnach ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $P(X=1\mid Y=-1)$ gesucht.

Ja genau, x ist der Sender und h eine überlagerte Störung wie z.B. weißes gaußsches Rauschen.

Müsste es nicht die Wahrscheinlichkeit sein, dass $Y=-1$ empfangen, aber $X=+1$ gesendet wurde, also umgekehrt? Wieso ist das nicht der Fall?


2020-04-16 20:30 - luis52 in Beitrag No. 21 schreibt:
Die (bedingte) Wahrscheinlichkeitsfunktion z.B. von $(Y\mid X=-1)$ nimmt dann auch zwei Werte an, naemlich $-1$ und $+1$. Nutze die alte Bauernregel aus:

$P(Y=-1\mid X=-1)=\dfrac{P(Y=-1\cap X=-1)}{P(X=-1)} \ldots$ usw.

Das ist ja der Satz von Bayes, den kenne ich. Somit kann ich ja das vorher berechnete $p(y|x_1)$ usw. wiederverwenden.



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2020-04-17 13:20 - Flo94 in Beitrag No. 24 schreibt:
 


2020-04-17 11:44 - luis52 in Beitrag No. 23 schreibt:
Mir scheint es gerechtfertigt zu sein, unter $X$ den "Sender" zu verstehen, der die Signale $x_1=-1$ bzw. $x_2=1$ verschickt.

Angenommen der Empfaenger "hoert" $y=-1$. Er taeuscht sich, wenn $X=1$ gesandt wurde. Demnach ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $P(X=1\mid Y=-1)$ gesucht.

Ja genau, x ist der Sender und h eine überlagerte Störung wie z.B. weißes gaußsches Rauschen.

Müsste es nicht die Wahrscheinlichkeit sein, dass $Y=-1$ empfangen, aber $X=+1$ gesendet wurde, also umgekehrt? Wieso ist das nicht der Fall?
 

Versetze dich in die Lage des Empfaengers. Er hoert $(Y=-1)$ (das ist die Bedingung) und fragt sich jetzt, ob der Sender vielleicht $(X=+1)$ gemorst und er somit das Signal falsch interpretiert. Ich bleibe dabei, $P(X=1\mid Y=-1)$ ist gesucht.

vg Luis



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2020-04-17 14:44 - luis52 in Beitrag No. 25 schreibt:
Versetze dich in die Lage des Empfaengers. Er hoert $(Y=-1)$ (das ist die Bedingung) und fragt sich jetzt, ob der Sender vielleicht $(X=+1)$ gemorst und er somit das Signal falsch interpretiert. Ich bleibe dabei, $P(X=1\mid Y=-1)$ ist gesucht.

Ok, verstehe ich so halb...

Stimmt meine Berechnung soweit?
$P(X=x_2|Y=-1)=\dfrac{P(Y=-1|X=x_2)*P(x_2)}{P(Y=-1)}=\dfrac{P(x_1)*P(x_2)}{P(Y=-1)}$

$P(Y=-1|X=x_2)=P(x_1)$ habe ich angenommen, da $Y$ ja nur $-1$ sein kann, wenn $X=x_1=-1$ ist? Und $h$ spielt keine Rolle, da ja die Vorraussetzung ist, dass $x_1$ eintritt?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2020-04-17


2020-04-17 16:50 - Flo94 in Beitrag No. 26 schreibt:

Stimmt meine Berechnung soweit?
$P(X=x_2|Y=-1)=\dfrac{P(Y=-1|X=x_2)*P(x_2)}{P(Y=-1)}=\dfrac{P(x_1)*P(x_2)}{P(Y=-1)}$
Was kriegst du denn nun konkret fuer $P(X=1\mid Y=-1)$ heraus?

2020-04-17 16:50 - Flo94 in Beitrag No. 26 schreibt:
$P(Y=-1|X=x_2)=P(x_1)$ habe ich angenommen, da $Y$ ja nur $-1$ sein kann, wenn $X=x_1=-1$ ist?  

Gruebel, gruebel? 🤔 $Y=-1$ tritt auch ein, wenn $X=1$ und $H=-1$ ist ...

*Ich* rechne so:

$
\begin{align*}
P(X=1\mid Y=-1)
&=\frac{P(Y=-1\mid X=1)\cdot P(X=1)}{P(Y=-1)} \\
&=\frac{(1-p)\cdot3/4}{(3-2p)/4} \\
&=\frac{3-3p}{3-2p}\,.
\end{align*}
$

oder so:


$
\begin{align*}
P(X=1\mid Y=-1)
&=\frac{P(X=1\cap Y=-1)}{P(Y=-1)} \\
&=\frac{P(X=1\cap H=-1)}{P(Y=-1)} \\
&=\frac{3(1-p)/4}{(3-2p)/4} \\
&=\frac{3-3p}{3-2p}\,.
\end{align*}
$




vg Luis









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2020-04-17 17:25 - luis52 in Beitrag No. 27 schreibt:
Was kriegst du denn nun konkret fuer $P(X=1\mid Y=-1)$ heraus?

Ich bekomme für $P(X=1\mid Y=-1)=\frac{9-9*p_h}{12-8*p_h}$ heraus.


2020-04-17 17:25 - luis52 in Beitrag No. 27 schreibt:
*Ich* rechne so:

$
\begin{align*}
P(X=1\mid Y=-1)
&=\frac{P(Y=-1\mid X=1)\cdot P(X=1)}{P(Y=-1)} \\
&=\frac{(1-p)\cdot3/4}{(3-2p)/4} \\
&=\frac{3-3p}{3-2p}\,.
\end{align*}
$


Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1\mid Y=-1)$ ist ja $(1-p)\cdot3/4$ oder? Müsste dann nicht noch das 3/4 von $P(X=1)$ dazu multipliziert werden:
$\frac{(1-p)\cdot3/4\cdot3/4+p\cdot1/4}{(3-2p)/4}$



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2020-04-17 18:14 - Flo94 in Beitrag No. 28 schreibt:
2020-04-17 17:25 - luis52 in Beitrag No. 27 schreibt:
Was kriegst du denn nun konkret fuer $P(X=1\mid Y=-1)$ heraus?

Ich bekomme für $P(X=1\mid Y=-1)=\frac{9-9*p_h}{12-8*p_h}$ heraus.


2020-04-17 17:25 - luis52 in Beitrag No. 27 schreibt:
*Ich* rechne so:

$
\begin{align*}
P(X=1\mid Y=-1)
&=\frac{P(Y=-1\mid X=1)\cdot P(X=1)}{P(Y=-1)} \\
&=\frac{(1-p)\cdot3/4}{(3-2p)/4} \\
&=\frac{3-3p}{3-2p}\,.
\end{align*}
$


Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1\mid Y=-1)$ ist ja $(1-p)\cdot3/4$ oder? Müsste dann nicht noch das 3/4 von $P(X=1)$ dazu multipliziert werden:
$\frac{(1-p)\cdot3/4\cdot3/4+p\cdot1/4}{(3-2p)/4}$

Ich verstehe nur Bahnhof.

Ich berechne $P(X=1\mid Y=-1)$ berechnen und du wendest ein: "Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1\mid Y=-1)$ ist ja $(1-p)\cdot3/4$ oder?"



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-17


Naja wenn $P(X=1\mid Y=-1)$ gleich $(1-p)\cdot3/4$ entspricht fehlt ja noch ein $*3/4$ für das $P(X=1)$ vom Zähler in
$\frac{P(Y=-1\mid X=1)\cdot P(X=1)}{P(Y=-1)}$,
oder ist $P(X=1\mid Y=-1)*P(X=1)$ gleich $(1-p)\cdot3/4$?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2020-04-17


Ich fasse mal zusammen, was ich an diesem Ende der Leitung habe:

Verteilung von $Y$:

$
p_Y(y)=P(Y=y)=
\begin{cases}
        \dfrac{1+2p}{4},& \text{$y=1$;}    \\
        \dfrac{3-2p}{4},& \text{$y=-1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$

Bedingte Verteilung von $(Y\mid X=-1)$:
$
\begin{align*}
P(Y=-1\mid X=-1)
&=\frac{P(Y=-1\cap X=-1)}{P(X=-1)} \\
&=\frac{P(H=1\cap X=-1)}{P(X=-1)} \\
&=\frac{p/4}{1/4} \\
&=p
\end{align*}
$

also

$
P(Y=y\mid X=-1)=
\begin{cases}
        p,& \text{$y=-1$;}    \\
        1-p,& \text{$y=1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$    

Bedingte Verteilung von $(Y\mid X=1)$:
$
\begin{align*}
P(Y=-1\mid X=1)
&=\frac{P(Y=-1\cap X=1)}{P(X=1)} \\
&=\frac{P(H=-1\cap X=1)}{P(X=1)} \\
&=\frac{3(1-p)/4}{3/4} \\
&=1-p \\
\end{align*}
$

also

$
P(Y=y\mid X=1)=
\begin{cases}
        1-p,& \text{$y=-1$;}    \\
        p,& \text{$y=1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$      

Also erhalte ich in der Tat:

$
\begin{align*}
P(X=1\mid Y=-1)
&=\frac{P(Y=-1\mid X=1)\cdot P(X=1)}{P(Y=-1)} \\
&=\frac{(1-p)\cdot3/4}{(3-2p)/4} \\
&=\frac{3-3p}{3-2p}\,.
\end{align*}
$
   

 

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.28 begonnen.]



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Vielen Dank fürs das Zusammenfassen und der damit verbundene Aufwand!

Ich glaube ich habe es jetzt verstanden! Das Problem war, dass ich
2020-04-17 20:17 - luis52 in Beitrag No. 31 schreibt:
Bedingte Verteilung von $(Y\mid X=-1)$:
$
\begin{align*}
P(Y=-1\mid X=-1)
&=\frac{P(Y=-1\cap X=-1)}{P(X=-1)} \\
&=\frac{P(H=1\cap X=-1)}{P(X=-1)} \\
&=\frac{p/4}{1/4} \\
&=p
\end{align*}
$
immer falsch berechnet habe...
Ich hatte die ganzen benötigten Formeln sogar richtig zusammengeschrieben, nur falsch angewendet 😐

Die ganzen Erkentnisse von deinen Antworten haben mich jetzt wirklich deutlich weiter gebracht!



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2020-04-17 21:05 - Flo94 in Beitrag No. 32 schreibt:
 
Die ganzen Erkentnisse von deinen Antworten haben mich jetzt wirklich deutlich weiter gebracht!


Gern geschehen.

vg Luis

P.S.: Solltest du weitere Fragen haben, so flansche dich bitte nicht noch einmal an den Thread "Zufallsvariable potenzieren". Mach' lieber ein neues Fass auf.



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Jetzt habe ich immerhin bald 2 von 7 Beispielen nach unzäligen Tagen 🙄

Ok, macht Sinn, werde ich wenn nötig so machen!



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2020-04-17 21:47 - luis52 in Beitrag No. 33 schreibt:
Gern geschehen.

vg Luis

P.S.: Solltest du weitere Fragen haben, so flansche dich bitte nicht noch einmal an den Thread "Zufallsvariable potenzieren". Mach' lieber ein neues Fass auf.

Leider habe ich noch eine Frage zu dieser Thematik. Ich soll das Folgende bestimmen:


$P(Y|X=x_1)$ habe ich ja schon und $P(X=x_1)$ ist auch bekannt. Daher habe ich beide multipliziert und erhalte:
$
\begin{cases}
        \dfrac{p}{4},& \text{$y=-1$;}    \\
        \dfrac{1-p}{4},& \text{$y=1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$

und für $X=x_2$:
$
\begin{cases}
        \dfrac{3-3p}{4},& \text{$y=-1$;}    \\
        \dfrac{3p}{4},& \text{$y=1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$

Also wenn ich jetzt annehme es wurde y=-1 empfangen, habe ich entweder

$P(Y=-1|X=x_1)=\dfrac{p}{4}$
oder
$P(Y=-1|X=x_2)=\dfrac{3-3p}{4}$

und je nachdem was wahrscheinlicher ist, wird $x_1$ oder $x_2$ genommen.

Mein Problem jetzt: wie bekomme ich beide unter einen Hut und wie komme ich hier auf die Fehlerwahrscheinlichkeit? Muss ich eine Fallunterschiedung für p machen?



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2020-04-17 21:47 - luis52 in Beitrag No. 33 schreibt:
Gern geschehen.

vg Luis

P.S.: Solltest du weitere Fragen haben, so flansche dich bitte nicht noch einmal an den Thread "Zufallsvariable potenzieren". Mach' lieber ein neues Fass auf.

Hättest du noch einen Ansatz für mich?



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2020-04-24 12:40 - Flo94 in Beitrag No. 36 schreibt:
2020-04-17 21:47 - luis52 in Beitrag No. 33 schreibt:
 
Hättest du noch einen Ansatz für mich?

Ich habe dir eine PN geschickt ...

vg Luis



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Leider keine PN erhalten



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luis52
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2020-04-24 14:08 - Flo94 in Beitrag No. 38 schreibt:
Leider keine PN erhalten

😖😖😖

Meine Argumentation steht vllt auf etwas wackligen Beinen und ist  zudem nicht zuende gedacht. Deswegen wollte ich sie erst einmal hier nicht zeigen. Leider finde ich die PN auch nicht mehr. Nun also doch hier.

Das Kriterium besagt: Waehle $x_1=-1$, falls
$
\begin{align*}
P(Y=y\mid X=-1)P(X=-1)>P(Y=y\mid X=1)P(X=1)
&\iff\frac{P(Y=y\mid X=-1)P(X=-1)}{P(Y=y\mid X=1)P(X=1)}>1    \\
&\iff\Lambda:=\frac{P(HX=y\mid X=-1)}{P(HX=y\mid X=1)}>3\,,
\end{align*}
$

anderenfalls $x_2=1$.

Da $Y$ nur die beiden Werte $y=-1$ und $y=1$ annimmt, nimmt $\Lambda$ auch nur zwei Werte an, naemlich

$\dfrac{P(HX=-1\mid X=-1)}{P(HX=-1\mid
X=1)}=\dfrac{P(H=1)}{P(H=-1)}=\dfrac{p}{1-p}\quad\text{ und }\quad
\dfrac{P(HX=1\mid X=-1)}{P(HX=1\mid X=1)}=\dfrac{P(H=-1)}{P(H=1)}=\dfrac{1-p}{p}$

Fehlentscheidungen werden gefaellt, wenn $(\Lambda\le3\mid X=-1)$ oder
$(\Lambda>3\mid X=1)$ eintritt. Beachte nun noch, dass $\Lambda$ als Funktion von $H$ und $X$ eine Verteilung
besitzt, die von der gemeinsamen Verteilung von $(H,X)$ abhaengt...

vg Luis



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