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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Absolute und gleichmäßige Konvergenz der Binomial-Reihe
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Universität/Hochschule Absolute und gleichmäßige Konvergenz der Binomial-Reihe
digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-26


Hallo, ich bin gerade etwas verwundert darüber, dass ich nichts dazu im Netz finde. Konvergiert die Binomial-Reihe
$$\sum_{n=0}^\infty \binom{s}{n} x^n$$ für $\Re(s)>0$ bei festem $s$ absolut und gleichmäßig auf $|x|\leq 1$? Ich würde sagen ja, denn
$$\left| \sum_{n=N}^\infty \binom{s}{n} x^n \right| \leq \sum_{n=N}^\infty \left|\binom{s}{n}\right| \leq \sum_{n=N}^\infty \frac{C(s)}{n^{1+\Re(s)}} < \epsilon$$ sofern $N$ hinreichend groß und dann gilt das auch für alle $N'\geq N$.


Korrekt?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-27


2020-04-26 12:41 - digerdiga im Themenstart schreibt:
Hallo, ich bin gerade etwas verwundert darüber, dass ich nichts dazu im Netz finde.

Welche deiner Fragen beantwortet denn der wirklich nicht schwer zu findende Wikipedia-Artikel zu diesem Thema nicht?

--zippy



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digerdiga
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-29


gleichmäßige Konvergenz?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-30


2020-04-29 22:35 - digerdiga in Beitrag No. 2 schreibt:
gleichmäßige Konvergenz?

Schau dir nochmal den allgemeinen Zusammenhang zwischen absoluter und gleichmäßiger Konvergenz an (Stichwort Majorantenkriterium von Weierstraß): Wenn eine Potenzreihe für $|z|=R$ absolut konvergiert, dann konvergiert sie für $|z|\le R$ gleichmäßig.



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