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Universität/Hochschule J gleichmäßige Konvergenz
Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-26


Hallo zusammen,
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.

"Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.

a) fed-Code einblenden
fed-Code einblenden


Die punktweise Konvergenz:
1) für x=0 -> \(f_n(x)=0\)
2) für x>0 -> \(f_n(x)=1\)

 damit ist auf \(f_n\) punktweise konvergent gegen f(x):= 1

Prüfe nun auf glm Konvergenz:
nach VL ist diese Konvergenz genau dann gleichmäßig, falls:
fed-Code einblenden

Die Ableitung liefert mir:
fed-Code einblenden


In der Musterlösung (im Bild) wird nach der pktw. Konv. direkt \(1/\sqrt(n)\) in die Supremumsnorm eingesetzt.
Die Stelle habe ich markiert.

Ich verstehe nicht, wie ich auf \[1/\sqrt n\] komme. Brauche ich die Ableitung dabei?

Kann mir bitte jemand helfen?

Danke im Voraus :)






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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-26

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Hallo Schueler321,

was hast du denn mit der Ableitung überhaupt vor?

Wegen der Musterlösung: Da wird $\sup\vert f_n(x)-f(x)\vert$ abgeschätzt, indem ein willkürlicher Wert für $x$ eingesetzt wird. Denn das Supremum ist immer größer oder gleich einem beliebigen Wert der Funktion. Insbesondere ist $\sup\vert f_n(x)-f(x)\vert\geq\left\vert f_n\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)-f\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\right\vert$. Und wenn schon dieser Wert nicht gegen 0 konvergiert, dann sicher auch nicht das Supremum, das ja größer ist.
Wie man drauf kommt: Erstmal bietet es sich an, eine Folge einzusetzen, sodass der Ausdruck unter der Wurzel einfacher handhabbar wird. Speziell Summen unter einer Wurzel sind unschön. Ein geeigneter Wert, bei dem sich die Summe zu einem Bruch vereinfachen lässt, ist eben $\frac{1}{\sqrt n}$. Und schönerweise passt diese Folge auch noch zum Beweis, dass die Folge nicht glm. konvergiert.

Übrigens: Der punktweise Grenzwert ist nicht $f(x)=1$, sondern $f(x)=\cases{1&$x>0$\\0&$x=0$}$. Dass die Folge nicht glm. konvergiert, kann man hier schon daran sehen, dass $f_n$ stetig ist für alle $n$, der punktweise Grenzwert aber nicht. Da glm. Konvergenz aber Stetigkeit erhält, kann die Konvergenz nicht glm. sein.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-27


Hallo Vercassivelaunos,

herzlichen Dank für Deine schnelle Antwort!
Damit verstehe ich die Abschätzung besser.

Eine kurze Frage habe ich noch: Ist das so immer möglich?
D.h. beim Sup die Abschätzung und - je nach Aufgabe - das x so ersetzten, dass es das Rechnen erleichtert und natürlich auch passt?

Deine Anmerkung, dass man aus der punktweisen Konvergenz erkennt, das es nicht auch gleichmäßig konvergent ist, ist einleuchtend! Danke für diese Ergänzung.

Liebe Grüße
Schüler :)



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-27


Eine kurze Frage habe ich noch: Ist das so immer möglich?
D.h. beim Sup die Abschätzung und - je nach Aufgabe - das x so ersetzten, dass es das Rechnen erleichtert und natürlich auch passt?

"Immer" ist eine sehr starke Aussage. Die würde ich auch verneinen. Ich kann dir ja beliebig komplizierte Funktionenfolgen konstruieren, bei denen es einfach nicht schön zu rechnen sein wird. Aber bei "interessanten" Funktionen funktioniert es häufig. Speziell solche auf Übungszetteln oder in Klausuren sind meistens so gewählt, dass man mit einem aufmerksamen Blick einen schönen Wert zum Einsetzen findet.



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Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-27


Herzlichen Dank für Deine Erklärung!
Das hilft mir sehr weiter :)

LG
Schüler



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Schueler321 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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