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Mathematik » Topologie » Standardtopologie auf Q stimmt nicht mit der induzierten p-adischen Topologie überein
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Universität/Hochschule Standardtopologie auf Q stimmt nicht mit der induzierten p-adischen Topologie überein
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-27


Hallo zusammen

Ich befasse mich aktuell mit der p-adische Metrik. Wir haben den p-adische Betrag definiert als :
\[|\cdot |_p: \Bbb Q \to \Bbb R_+ \; \; q \rightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
p^{−ν_p(q)} & \, \text{falls} \, q  \neq 0 \\
0 & \, \textrm{falls} \, q =0 \\
\end{array}
\right.\]
Ich möchte gerne zeigen, dass die durch $d_p :=|x-y|_p$ definierte Topologie nicht mit der Standardtopologie auf $\Bbb Q$ übereinstimmt.

Sehe ich nicht, wie ich dies am besten machen soll. Hat mir jemand einen Tipp?

Vielen Dank für eure Hilfe 😃



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-27


Hallo, du musst eine Menge finden, die in der einen Topologie offen ist und in der anderen nicht.

Nimm die Kugel $\{x\in \mathbb Q\mid |x|_p<1/p\}$. Sie enthält genau alle gekürzten Brüche, deren Zähler durch $p^2$ teilbar ist. Wieso gibt es in der Standardtopologie keine offene Menge, die ausschließlich diese Brüche enthält?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-27


Guten Abend ochen

Vielen Dank für deine Antwort. Zum Verständnis, weshalb enthält die Kugel $B:= \{x\in \mathbb Q\mid |x|_p<1/p\}$ genau alle gekürzten Brüche, deren Zähler durch $p^2$ teilbar sind?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-27


Hm, welche Elemente wären denn deiner Meinung nach in $B$ enthalten?



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-27


Wir behandeln diese p-adische Zahlen gerade neu und somit habe ich noch nicht wirklich den Durchblick. Also soweit habe ich es verstanden: Wir können ja jede rationale Zahl $x$ in Primfaktoren zerlegen und $|x|_p$ ist dann die Primzahl $p$ hoch der Exponent mal $-1$ aus der Primfakoterenzerlegung. Natürlich ein wenig salopp formuliert. Besser wäre: Sei $x \in \Bbb Q$ dann können wir $x$ mit der Primfaktorenzerlegung schreiben als $x=p_1^{n_1} \cdots p_i^{n_i}$, wobei $p_j$ Primzahlen sind und $n_j \in \Bbb N$ $\forall j$. Dann ist $|x|_{p_k}=p^{-n_k}$ für alle $k \in \{1, \cdots, i\}$. Nun kann ich mir aber nicht vorstellen was in $B$ sein soll, diese Menge scheint mir noch abstrakt.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-28


Okay, ich habe mir das Ganze noch einmal angeschaut und verstehe nun weshalb alle Elemente in $B$ genau diejenigen sind, die im Zähler durch $p^2$. Denn sei z.B. $x \in B$ dann können wir $x$ anhand der Primfaktorenzerlegung schreiben als $x=p^a*s$, wobei $p$ eine Primzahl, $a \in \Bbb Z$ und $s \in \Bbb Q$ ist. Dann folgt, dass $|x|_p=p^{-a} < \frac{1}{p} =p^{-1}$. Daraus folgt aber, dass $a \geq 2$ sein muss und somit ist der Zähler durch $p^2$ teilbar.

Ist nun aber $B$ offen in der Topologie induziert durch diese Metrik? Ja oder, weil der Abstand, kleiner ist als $\frac{1}{p}$ ist, oder?
Jetzt zur Frage: Wieso gibt es in der Standardtopologie keine offene Menge, die ausschließlich diese Brüche enthält? Da bin ich noch nicht wirklich weiter. Hast du mir einen Tipp?

EDIT: Ich hatte noch folgende Idee. Wir haben ja, dass $\Bbb Q$ dich in $\Bbb R$ liegt. Dass heisst in jeder offenen Kugel $B'$ in der Standardtopologie, in der gilt: $B \subseteq B'$, haben wir Elemente $y \in B'$, die nicht durch $p^2$ teilbar sind im Zähler.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-11


Noch einfacher: Man schaut sich die durch die $p$-adische Metrik induzierte Topologie auf $\IZ$ an und beobachtet, dass sie nicht diskret ist. Zum Beispiel ist $\{0\}$ nicht offen, denn jede offene Umgebung der $0$ enthält eine offene Kugel $\{x \in \IZ : |x|_p \leq p^{-n}\} = \{x \in \IZ : v_p(x) \geq n\} = p^n \IZ$ und damit als Element $p^n$ für ein $n \geq 0$. Oder, ganz ähnlich: In der $p$-adischen Topologie ist $\lim_{n \to \infty} p^n = 0$, aber in der euklidischen Topologie natürlich nicht.



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