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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Unterschied Maximum zu maximalen Elementen
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Universität/Hochschule J Unterschied Maximum zu maximalen Elementen
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-30


Guten Morgen miteinander😄

In einer älteren Übungsserie von meiner Analysis-Vorlesung habe ich eine Aufgabe, in welcher zwischen Maximum und sogenannten maximalen Elementen unterschieden wird. In der Vorlesung haben wir jedoch lediglich über die Definition vom Maximum und des Supremums gesprochen. Konkret sieht die Aufgabe folgendermassen aus:

"Sei $(X,\leq)$ eine geordnete Menge. Falls es $m\in X$ gibt, so dass $x\leq m$ für alle $x\in X$, dann heisst $m\in X$ das Maximum von $X$. Überzeugen Sie sich davon, dass $X$ höchstens ein Maximum haben kann. Finden Sie Beispiele für folgende Situationen, oder zeigen Sie, dass das nicht möglich ist:

$(1)$ Die geordnete Menge $X$ besitzt kein Maximum und auch keine maximalen Elemente.
$(2)$ Die geordnete Menge $X$ besitzt maximale Elemente, aber kein Maximum.
$(3)$ Die geordnete Menge $X$ besitzt genau ein maximales Element, aber kein Maximum."

Nun habe ich zeigen können, dass falls ein Maximum existiert, dieses auch eindeutig bestimmt ist. Auch für die Aufgabe (1) habe ich ein passendes Beispiel gefunden. Für die Aufgabe (2) und (3) finde ich jedoch keine passenden Beispiele. Kann mir dort jemand aushelfen😁?

Liebe Grüsse Sandrob



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-30


Eventuell hilft das Stichwort "Halbordnung".


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-30


Hallo Sandrob,

definiere etwa \(A\leq B:\iff A\subseteq B\) für Mengen A und B.

Damit sollten dir Beispiele für (2) und (3) gelingen.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Dir fehlt vor allem eine Definition, wie es scheint. Hier ist eine:
Sei $(A,\leq)$ eine Halbordnung. $x\in A$ heißt maximales Element (von $A$), gdw. für alle $y \in A$ gilt: $x \leq y \implies y \leq x$.

Nimmt man $(A,<)$ mit irreflexivem $<$ als Grundlage, ist folgende Definition gebräuchlich:
$x \in A$ heißt maximales Element (von $A$), gdw. es kein $y\in A$ gibt mit $x < y$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-30


Ich weiss nicht, ob das dem TS hilft, wenn er für \(X\) die Potenzmenge einer beliebigen Menge nimmt.

Insbesondere wird er Schwierigkeiten haben, ein Beispiel für (3) zu finden.

Tip: Nimm als Grundmenge \(X\) eine geeignete Teilmenge einer Potenzmenge.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30


Vielen lieben Dank für alle eure Antworten!

Ich habe mir vorhin gerade den Wikipedia-Artikel zu Ordnungsrelation durchgelesen und die Unterscheidungen zwischen Totalordnung, Strenge Totalordnung, Halbordnung, etc. sind für mich sehr verwirrend geschrieben. Zudem weichen meine Mathe-Bücher in der Präzision der Erklärungen stark ab und ich sehe nur noch einen Wald voller unterschiedlichen Definitionen😂.

In einem meiner Fachbücher wird einfach zwischen einer partiellen Ordnung und einer totalen Ordnung unterschieden. Dies macht für mich absolut Sinn und ich verstehe den Unterschied. Was nun jedoch der Unterschied von einer Totalordnung zu einer strengen Totalordnung sein soll leuchtet mir nicht richtig ein und auch eine Halbordnung sieht für mich nahezu identisch zu einer "normalen Ordnungsrelation" aus😁.

@tactac: Danke vielmals für deinen Aufschrieb zur Definition eines maximalen Elements. Heisst dies also, dass die Implikation $x\leq y\Rightarrow y\leq x$ somit auch $x=y$ bedeutet?



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-30


Die Begriffe werden tatsächlich nicht ganz einheitlich gebraucht.

Du brauchst hier nur den Begriff der partiellen Ordnung. Eben auch Halbordnung oder nur Ordnung (im Gegensatz zur Totalordnung) genannt.

Also wie hier:

Der Begriff "streng" in diesem Zusammenhang ist mir gerade zum ersten Mal über den Weg gelaufen.

@tactac: Danke vielmals für deinen Aufschrieb zur Definition eines maximalen Elements. Heisst dies also, dass die Implikation x≤y⇒y≤x somit auch x=y bedeutet?

Ja: es gibt kein größeres Element,  das verschieden ist.




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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-30


Partielle Ordnung und Halbordnung sind Synonyme. (was auch im Wikipediaartikel steht!)

Strenge Ordnungsrelationen kann man sich mit $<$ statt $\leq$ bzw. $\subset$ statt $\subseteq$ verdeutlichen.
(Dadurch ändern sich genau die Beziehungsaxiome in denen Gleichheit vorkommt.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2020-04-30 10:33 - Sandrob in Beitrag No. 5 schreibt:
@tactac: Danke vielmals für deinen Aufschrieb zur Definition eines maximalen Elements. Heisst dies also, dass die Implikation $x\leq y\Rightarrow y\leq x$ somit auch $x=y$ bedeutet?
Ja, in Halbordnungen (mit Antisymmetrie). Die Definition, die ich angegeben habe, ist aber auch sinnvoll, wenn Antisymmetrie nicht gefordert ist (also in Quasiordnungen).
\(\endgroup\)


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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30


Ich habe mir soeben den Wikipedia-Artikel ausgedruckt und werde diesen noch genauer bearbeiten, damit ich auch einigermassen gut informiert bin und ihr nicht eure Zeit unnötig für meine Fragen opfern müsst😁.

Ich werde euch dann wahrscheinlich im Verlaufe vom Nachmittag eine Rückmeldung geben. Danke jetzt schon für eure Hilfe!😉



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-30


Nun habe ich mich mit dem Wikipedia-Artikel ziemlich genau befasst und es hat schon ziemlich viel Licht ins Dunkle gebracht😁. Trotzdem habe ich noch einige ungeklärte Fragen, welche ich am besten der Übersicht halber auflisten werde:

$(1)$: Für eine strenge Totalordnung gelten ja die 2 Axiome Transitivität und Trichotomie. Nun ist mir klar, dass hier die Reflexivität keinen Sinn machen kann und deswegen die Irreflexivität gilt, also $\neg (x<x)$. Wie sieht es jedoch bezüglich der Antisymmetrie aus, also kann diese auch gelten oder spricht dort genau eben das Kriterium der Trichotomie dagegen?

$(2)$: Was genau ist der Unterschied zwischen Totalität und Trichotomie?
Mir ist schon klar, dass bei der Totalität das "einschliessende Oder" in der Formulierung verwendet wird und bei der Trichotomie das "exklusive Oder". Ist also gewissermassen die Trichotomie noch eine Verstärkung der Totalität?

$(3)$: Zur Definition vom kleinsten Element: Falls es ein Element $m\in T$, mit $T$ eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge $P$, gibt, das $\leq$ allen anderen Elementen von $T$ ist, dann heisst $m$ das kleinste Element von $T$. Ausserdem ist es bei dessen Existenz zudem auch eindeutig bestimmt, dies folgt aus der Antisymmtrie der Ordnung. Nun zu meiner eigentlichen Frage: Ist das kleinste Element ein Synonym zum Minimum?

$(4)$: Auf Wikipedia machen sie ein Beispiel, dass es vorkommen kann, dass eine (unendliche) Menge $T$ zwar ein einziges minimales Element hat, dieses aber nicht das kleinste Element der Menge ist. Zunächst ist ja diese Aufgabe fast analog zu meinem Übungsbeispiel (3) im 1. Beitrag, nur dass auf Wikipedia das Minimum, statt das Maximum betrachtet wird. Ebenfalls verstehe ich nun (habe ich zunächst überhaupt nicht verstanden), dass eine Menge ein einziges minimales Element haben kann, jedoch nicht unbedingt ein kleinstes Element. Deswegen ist es ja extrem wichtig, dass ich mir im Klaren bin, dass wir über eine Halbordnung sprechen, denn in einer Totalordnung wäre ja minimales Element gleich dem kleinsten Element. Nun jedoch zum Beispiel auf Wikipedia, dass ich leider nicht ganz verstehe:

"Für $M=${$[0,a]\mid 0<a<1$}$\cup ${{$2$}}, versehen mit $\subseteq$ als Halbordnung, ist {$2$} zwar das einzige minimale Element, aber nicht das kleinste, da {$2$}$\subseteq A$ nicht für alle $A$ aus $M$ gilt."

Wenn ich nun die Definition von tactac nehme, die sagt, dass:

Sei $(T,\subseteq)$ eine Halbordnung. $x\in T$ heißt minimales Element (von A), gdw. für alle $y\in A$ gilt$: x\supseteq y\Rightarrow y\subseteq x$.

...dann verstehe ich zwar noch, warum hier {$2$} ein minimales Element ist, denn die Implikation für $x=${$2$} als minimales Element ist falsch, da {$[0,a]\mid 0<a<1$} sicherlich nicht in {$2$} enthalten ist. Jedoch sollte meiner Meinung nach dann auch {$[0,a]\mid 0<a<1$} ein minimales Element sein, da ja die umgekehrte Mengeninklusion auch nicht gilt oder?

Ich hoffe, dass ich mich einigermassen passend ausdrücken konnte und ihr meine (vielleicht leicht verwirrenden) Gedankengänge nachvollziehen könnt😁.

Danke fürs Durchlesen und ich freue mich riesig auf eure Antworten!



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-04-30


Hallo Sandrob ,

zu (4)

2020-04-30 14:57 - Sandrob in Beitrag No. 10 schreibt:
"Für $M=${$[0,a]\mid 0<a<1$}$\cup ${{$2$}}, versehen mit $\subseteq$ als Halbordnung, ist {$2$} zwar das einzige minimale Element, aber nicht das kleinste, da {$2$}$\subseteq A$ nicht für alle $A$ aus $M$ gilt."

Wenn ich nun die Definition von tactac nehme, die sagt, dass:

Sei $(T,\subseteq)$ eine Halbordnung. $x\in T$ heißt minimales Element (von A), gdw. für alle $y\in A$ gilt$: x\supseteq y\Rightarrow y\subseteq x$.

...dann verstehe ich zwar noch, warum hier {$2$} ein minimales Element ist, denn die Implikation für $x=${$2$} als minimales Element ist falsch, da {$[0,a]\mid 0<a<1$} sicherlich nicht in {$2$} enthalten ist. Jedoch sollte meiner Meinung nach dann auch {$[0,a]\mid 0<a<1$} ein minimales Element sein, da ja die umgekehrte Mengeninklusion auch nicht gilt oder?
Die Elemente von M sind {2} und die Intervalle [0,a] für 0 < a < 1. Nichts weiter. Insbesondere ist {$[0,a]\mid 0<a<1$} kein ELEMENT von M.

{2} ist minimal, da für kein a gilt \([0,a]\subseteq \{2\}\)

Es ist etwa [0,1/2] nicht minimal, da \([0,1/4]\subseteq [0,1/2]\).



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-04-30


Noch ein Beispiel:

\(X\) bestehe aus den folgenden Teilmengen von \(\IN\):

\(\{0\}\), endliche Teilmengen, die \(0\) nicht enthalten.

Die Ordnung sei die gewöhnliche Mengeninklusion.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-04-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Vielleicht noch ein Beispiel mit einer Relation, die nicht antisymmetrisch ist: Wir nehmen $A=\mathbb Z\setminus\{1,-1\}$ und als Relation die Teilerrelation. $A$ hat keine kleinsten Elemente ($\mathbb Z$ hätte die kleinsten Elemente $1$ und $-1$), größtes Element ist 0, und die Primzahlen (positiv und negativ) sind genau die minimalen Elemente.
\(\endgroup\)


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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-01


@StrgAltEntf: Stimmt, vielen Dank für deinen Hinweis. Habe mich noch gewundert, warum die Intervallklammern für ein abgeschlossenes Intervall verwendet wurden. Nun ist mir jedoch klar, dass diese Menge unendlich viele Intervalle enthält und nicht nur das Intervall $(0,1)$, wie ich am Anfang gedacht habe. Dann verstehe ich das Beispiel nun von Wikipedia. Danke dir!😉

@helmetzer: Dann wäre aber die Menge $\{0\}$ minimales und maximales Element zugleich oder?

@tactac: Danke noch für dieses Beispiel, finde ich fast schöner als die anderen :)

Nun bin ich mit den verschiedenen Begriffen noch ein bisschen verwirrt. Ich schreibe hier nochmals die einzelnen Definitionen für mich auf und ihr könnt ja absegnen oder mitteilen, falls ich Unsinn definiere😂. Für meine Definitionen nehme ich an, dass $(P,\leq)$ eine halbgeordnete Menge ist und $T$ eine Teilmenge davon $(T\subseteq P)$.

Minimales Element: $x\in T$ heisst minimales Element (von $T$), gdw. für alle $t\in T$ gilt$:t\leq x \Rightarrow x\leq t.$

Maximales Element: $x\in T$ heisst maximales Element (von $T$), gdw. für alle $t\in T$ gilt$:x\leq t \Rightarrow t\leq x.$

Kleinstes Element: $m\in T$ heisst kleinstes Element (von $T$), gdw. $m\leq t$ $\forall t\in T.$

Grösstes Element: $M\in T$ heisst grösstes Element (von $T$), gdw. $t\leq M$ $\forall t\in T.$

Untere Schranke: Falls $p\in P$ die Eigenschaft hat, dass für alle $t\in T$ die Beziehung $p\leq t$ gilt, dann heisst $p$ eine untere Schranke von $T$ ($p$ kann, muss aber nicht Element von $T$ sein).

Obere Schranke: Falls $p\in P$ die Eigenschaft hat, dass für alle $t\in T$ die Beziehung $t\leq p$ gilt, dann heisst $p$ eine untere Schranke von $T$ ($p$ kann, muss aber nicht Element von $T$ sein).

Infimum: Falls $s_0\in P$ die folgenden zwei Bedingungen erfüllt, wird dieses $s_0$ Infimum genannt:
(1): $s_0$ ist untere Schranke.
(2): $s_0$ ist die grösste untere Schranke, also $\forall s\in P: (\forall t\in T: s\leq t) \Rightarrow s\leq s_0.$

Supremum: Falls $s_0\in P$ die folgenden zwei Bedingungen erfüllt, wird dieses $s_0$ Supremum genannt:
(1): $s_0$ ist obere Schranke.
(2): $s_0$ ist die kleinste obere Schranke, also $\forall s\in P: (\forall t\in T: t\leq s) \Rightarrow s_0\leq s.$


Weiterhin ist mir noch nicht ganz einleuchtend, was der Unterschied vom kleinsten Element zum Minimum sind. Dies sind Synonyme oder?

Sorry für die vielen Definitionen, aber ich möchte mir sicher sein, dass ich die Unterschiede auch wirklich verstanden habe. Vielen lieben Dank an euch alle!😃👍



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helmetzer
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2020-05-01 10:51 - Sandrob in Beitrag No. 14 schreibt:

@helmetzer: Dann wäre aber die Menge <math>\{0\}</math> minimales und maximales Element zugleich oder?

Ja. Wie im anderen Beispiel übrigens auch.

Man kann zu jeder geordneten Menge ein "fremdes" Element dazunehmen, das nur zu sich selber in Relation steht. Das ist dann minimal und maximal.



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tactac
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2020-05-01 10:51 - Sandrob in Beitrag No. 14 schreibt:
Weiterhin ist mir noch nicht ganz einleuchtend, was der Unterschied vom kleinsten Element zum Minimum sind. Dies sind Synonyme oder?
Die sind synonym, ja.



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Sandrob
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Danke euch!



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