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Universität/Hochschule J Definition und Wohldefiniertheit des Summenzeichens
Jannik_S
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  Themenstart: 2020-05-02

Hallo liebe Community, ich überlege derzeit, wie man das Summenzeichen formal korrekt definieren und dessen Wohldefiniertheit beweisen kann. Ich habe mir Folgendes überlegt: Für \(m,n \in \mathbb{N}\) und \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) definiert man: \(\sum \limits_{i=m}^{0} a_i := \begin{cases} a_m, & \text{falls } m=0, \\ 0, & \text{sonst}. \end{cases}\) \(\sum \limits_{i=m}^{n+1} a_i := \sum \limits_{i=m}^{n} a_i + a_{n+1}\) Ich bin mir allerdings unsicher, ob diese Definition so sinnvoll ist und wie man nun die Wohldefiniertheit beweist. Würde mich freuen, falls jemand helfen kann. :) Liebe Grüße Jannik


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-02

Hallo Jannik_S, das passt noch nicht. Schreib mal auf, was nach deiner Definition \(\displaystyle\sum_{m=4}^2a_i\) wäre.


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Jannik_S
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-02

Hallo StrgAltEntf, da hast Du Recht. Es wäre fälschlicherweise gleich \(a_1 + a_2\). Vielleicht hier eine alternative Definition: Für jedes \(i\in I\) sei ein \(a_i\in A\) gegeben. Man setzt \(\sum \limits_{i\in \emptyset} a_i := 0\) bzw. \(\sum \limits_{i\in I}a_i := a_j + \sum \limits_{i\in I\setminus\{j\}}a_i \) (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Summe?veaction=edit§ion=6) Leider steht hier zur Wohldefiniertheit nur, dass diese durch die "Kommutativität und Assoziativität der Addition" garantiert sei. Hast du eventuell eine Idee, wie man hier die Wohldefiniertheit zeigt? Liebe Grüße Jannik


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-02

Weiß du denn, was man im einzelnen beweisen muss, um die Wohldefiniertheit nachzuweisen?


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Jannik_S
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-02

Wenn ich das Ganze richtig verstanden habe, muss bewiesen werden, dass es genau eine Möglichkeit gibt, einen Ausdruck zu interpretieren. Sagen wir wir befinden uns im konkreten Fall im Körper \((K,+,\cdot)\), so gilt es \[\forall m,n \in \mathbb{N} \exists ! k \in K: \sum_{i=m}^n a_i = k\] zu zeigen.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-02

Bei der Definition, die du in Beitrag #2 angegeben hast, muss gezeigt werden, dass die Definition der Summe unabhängig davon ist, wie du die Elemente $i\in I$ auswählst. Und das klappt eben, da die Addition kommutativ und assoziativ ist. Was aber beispielsweise nicht funktionieren würde, ist so etwas: Seien \(A_i\) 2x2-Matrizen für $i\in I$. Dann definiere \[\prod_{i\in I}A_i=A_{i_0}\cdot\prod_{i\in I\setminus\{i_0\}}A_i\] Wenn du nämlich die Elemente von I anders anordnest, würde das unterschiedliche Ergebnisse liefern. Wenn man die Summe \[\sum_{i=m}^na_i\] definieren will, setzt man üblicherweise \[\sum_{i=m}^na_i=0\] für n < m und beginnt die eigentliche rekursiver Definition erst bei n = m. Dass die Summe dann wohldefiniert ist, liegt in der Natur der natürlichen Zahlen. Solange du keine Mengenlehre betreibst, würde ich mir darüber keine weiteren Gedanken machen. Das gilt übrigens für jede rekursive Definition, die wie folgt aufgebaut ist: $f(m):=a$, $f(n+1):=g(f(n),n)$ für \(n\geq m\). Wobei $g$ irgendeine Funktion ist. Man muss hier lediglich aufpassen, dass \((f(n),n)\) nicht irgendwann den Definitionsbereich von $g$ verlässt.


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Jannik_S
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-02

Alles klar, danke Dir! ;)


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