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Analysis » Grenzwerte » Rechts- und linksseitiger Grenzwert auf abgeschlossenen Intervallen
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Universität/Hochschule Rechts- und linksseitiger Grenzwert auf abgeschlossenen Intervallen
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-15


Hallo,

Meine Frage ist ob eine Funktion, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] definiert ist, in ihren Randpunkten a und b überhaupt stetig sein kann?

Denn eine Definition von Stetigkeit in einem Punkt x0 ist, dass linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen und dieser Wert gleich f(x0) ist. Allerdings würde ich sagen, dass in einem Intervall [a,b] in Punkt b der rechtsseitige Grenzwert gar nicht existieren kann, denn alle Punkte 'rechts von b' d.h. alle x mit x>b liegen ja gar nicht mehr in dem Intervall auf dem f definiert ist. Damit würde der Grenzwert von f in b nicht existieren und daher wäre f in b nicht stetig.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-15


Hallo Gast123,

üblicherweise definiert man die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt nicht über links- und rechtsseitige Grenzwerte, sondern über die \(\epsilon\)-\(\delta\)-Definition der Stetigkeit oder - äquivalent - über die Definition mit Folgen.
Ist nun der Definitionsbereich ein Intervall und \(x_0\) ein innerer Punkt des Intervalls, dann ist die Stetigkeit in \(x_0\) äquivalent dazu, dass sowohl die links- als auch rechtsseitigen Grenzwerte existieren und mit dem Funktionswert von \(x_0\) übereinstimmen.



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-15


Hallo,

Um das vielleicht noch etwas weiterzuspinnen: Die Funktion $f:\left(-\infty,-1\right]\cup\left\{0\right\}\cup\left[1,\infty\right)\rightarrow\mathbb{R}$ mit
$$f(x) =
\begin{cases}
0 &, x \leq 0 \\
1 &, x=0 \\
0 &, x \geq 0
\end{cases}$$
ist überall auf ihrem Definitionsbereich stetig, insbesondere auch bei $x=0$.

Sogar ebenso die Funktion $g:\left\{0\right\}\rightarrow\left\{0\right\}$ mit $g(0)=0$.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-15


Hallo,

ja genau. Im Prinzip bedeutet Stetigkeit, dass der Grenzwert \(lim_{x \rightarrow x0} f(x)\) existiert, und dass dieser Grenzwert gleich f(x0) ist. Aber die Existenz der Grenzwerters \(lim_{x \rightarrow x0} f(x)\) ist äquivalent dazu, dass links und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen.

Da der rechtsseitige Grenzwert im Punkt b (vom Intervall [a,b]) nicht exisitiert, kann der Grenzwert \(lim_{x \rightarrow x0} f(x)\) auch nicht existieren und damit kann die Funktion in b nicht stetig sein oder? Das würde dann ja bedeuten, dass Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen in den Randpunkten nicht stetig sein können?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-15


2020-05-15 14:25 - Gast123 in Beitrag No. 3 schreibt:

Da der rechtsseitige Grenzwert im Punkt b (vom Intervall [a,b]) nicht exisitiert, kann der Grenzwert \(lim_{x \rightarrow x0} f(x)\) auch nicht existieren und damit kann die Funktion in b nicht stetig sein oder? Das würde dann ja bedeuten, dass Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen in den Randpunkten nicht stetig sein können?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Doch. Wie ich schon sagte gilt die Äquivalenz
\(f\) ist stetig in \(x_0 ~\Leftrightarrow\) Der rechtssetige und linksseitige Grenzwert von \(f\) an der Stelle \(x_0\) existieren und sind gleich \(f(x_0)\)
nur, falls \(x_0\) ein INNERER Punkt des Intervalls \([a,b]\) ist, also wenn \(x_0 \in (a,b)\) gilt.

Das ist auch aus dem von dir verlinkten Wikiartikel ersichtlich. Dort wird (auf unsere Situation übertragen) für die obige Äquivalenz gefordert, dass \(x_0\) ein Häufungspunkt der Mengen \([a,b] \cap (x_0 , \infty)\) und \([a,b] \cap (-\infty , x_0)\) ist. Für \(x_0 = b\) ist aber \([a,b] \cap (b, \infty) = \emptyset\) und besitzt keinen Häufungspunkt, somit kann auch \(b\) kein Häufungspunkt dieser Menge sein.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-15


Hallo Kampfpudel,

danke für deine Antwort!



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-16


Zu deiner Antwort Kampfpudel:

Ich habe im Buch Analysis 1 von Daniel Grieser (S.181) folgende Definition gefunden:
"Angenommen \(x_0 \in \mathbb{R}\) ist Häufungspunkt von \(D^{+} = \{x \in D: x \geq x_0\}\). Falls
\[\lim_{x\rightarrow x_0\\x \in D^{+}} f(x) = a\] exisitiert, heißt a rechtsseitiger Grenzwert von f bei \(x_0\).

Angenommen \(x_0 \in \mathbb{R}\) ist Häufungspunkt von \(D^{-} = \{x \in D: x \leq x_0\}\). Falls
\[\lim_{x\rightarrow x_0\\x \in D^{-}} f(x) = a\] exisitiert, heißt a linksseitiger Grenzwert von f bei \(x_0\)."

Dann gibt es noch den Satz:
Sei D Teilmenge von \(\mathbb{R}\), \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) und \(a \in \mathbb{R}\). Angenommen, $x_0$ ist Häufungspunkt sowohl von $D^{+}$ als auch von $D^{-}$. Dann gilt:
$$ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=a $$,
genau dann, wenn: Linksseitiger und rechstseitiger Grenzwert existieren in $x_0$ und sind gleich a.


Mir ist nun nicht ganz klar ob das auch wieder nur innere Punkte von D betrifft? Schließt auch diese Definition die Randpunkte eines abgeschlossenen Intervalls aus? Können Punkte, die sowohl Häufpunktspunkt von $D^{+}$ als auch von $D^{-}$ sind, Randpunkte eines abgeschlossenen Intervalls sein?



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Noch eine weitere Frage: Dass man einseitige Limiten nur in inneren Punkten bilden darf, gilt nur, wenn man den punktierten Grenzwertbegriff benutzt oder? Wenn man den nicht punktierten Grenzwertbegriff verwendet, kann man ja  immer x=x0 einseitzen, und dann könnte man den einseitigen Grenzwert auch in den Randpunkten eines abgeschlossenen Intervalls bilden oder?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-25


Entschuldige bitte, ich habe wohl deinen Beitrag No.6 schlichtweg nicht bemerkt.

Das, was bei Grieser steht, ist genau das gleiche, was im Wiki-Artikel steht - nur etwas anders formuliert.
Ist \(D\) ein Intervall, im günstigsten Fall ein abgeschlossenes Intervall \(D=[a,b]\), so ist für \(b=x_0\): \(D^+= \{ b \}\). Einelementige Mengen besitzen aber keine Häufungspunkte, daher kannst du rechtsseitige Limites an der Stelle \(b\) nicht betrachten und den Satz kannst du nicht anwenden. Analoges gilt natürlich auch für \(x_0=a\).

Wenn allerdings \(x_0\) ein innerer Punkt von \(D\) ist, ist \(x_0\) auch Häufungspunkt sowohl von \(D^+\) als auch \(D^-\).

Zu deiner Frage in Beitrag No.7:
Prinzipiell könnte man das beim nicht punktierten Grenzwertbegriff machen. Dann müsste man dort aber wohl die Definition von Häufungspunkten einer Menge geändert werden. Da kenne ich mich aber nicht aus.



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Hallo und danke für deine Antwort.
Warum müsste man da dann die Definition von Häufungspunkten ändern? Also was wäre da denn problematisch mit der "normalen" Definition von Häufungspunkten?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-05-25


Naja, ein HP einer Menge \(M\) ist ein Punkt \(x_0\), sodass für jede Umgebung \(U(x_0)\) von \(x_0\) gilt: \(M \cap \dot{U}(x_0) \neq \emptyset\), wobei \(\dot{U}(x_0)= U(x_0) \setminus \{x_0 \} \).
Man nennt \(\dot{U}(x_0)\) auch eine punktierte Umgebung von \(x_0\).

Würde man diese Definition so abändern, dass man stattdessen \(M \cap U(x_0) \neq \emptyset\) fordert, so könnte man auch rechtsseitige Limites in rechten Randpunkten von Intervallen definieren, ohne den Wortlaut der Definition eines rechtsseitigen Grenzwertes zu ändern. Dann hätten wir genau die Situation, die du beschrieben hast.




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Danke nochmal für die Antwort. Ich hätte nochmal zwei Fragen dazu:

1.) Was du dann definierst ist dann im Prinzip ein Berührpunkt oder? Denn Vertreter des nicht punktierten Grenzwertes, wie zB Forster, fordern dass $x_0$ eben ein Berührpunkt ist und kein Häufungspunkt und dann würde das ja passen oder?




2.) Und dann hab ich noch eine Definition gefunden, die ich nicht so richtig in Einklang bringen kann mit dem, was wir hier erarbeitet haben:
Aus dem Buch Analysis von Deitmar, S.77, Definition 4.2.3.
Dort definiert er einseitige Grenzwerte über die Folgenkonvergenz:


Ist $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion und $p \in D$, so schreibt man
$$\lim_{x \nearrow p} f(x) = \alpha $$ wenn für jede monoton wachsende Folge $x_n \in D$, die gegen $p$ konvergiert,
die Bildfolge $f(x_n)$ gegen $\alpha$ konvergiert.
Ebenso heißt
$$\alpha = \lim_{x \searrow p} f(x),$$ dass $f(x_n) \rightarrow f$ für jede monoton fallende Folge in $D$ mit Limes $p$ gilt. Die
Funktion f ist genau dann stetig in p, wenn
$$\lim_{x \nearrow p} f(x) = \lim_{x \searrow p} f(x) = f(p)$$
So wie ich das sehe, könnte man hier in diesem Fall, falls $D = [a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall ist, den einseitigen Limes auch in den Randpunkten bilden. Denn die Folgen müssen in dieser Definition nur monoton wachsend sein (also nicht streng monoton wachsend) und die Folgenglieder müssen nur in D liegen, können also insbesondere auch alle gleich p sein. Dann könnte man ja einfach die konstante Folge $x_n = p$ nehmen und dann wären die Voraussetzungen erfüllt um auch zB in b den rechtseitigen Grenzwert zu bilden oder?

Ich frage mich halt, ob ich hier etwas übersehe, oder ob Deitmar hier evtl den nicht punktierten Grenzwert Begriff verwendet.
Denn um wirklich nur innere Punkte p zuzulassen, müsste man die Definition ja so ändern, dass man entweder sagt, dass $x_n \in D \setminus  \{p\}$ oder dass die Folgen streng monoton sein müssen.
Übersehe ich da etwas, oder was meinst du?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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Zu 1)

Ja genau.

Zu 2)

Ja, genau das tut Deitmar hier.
Nur ist es halt ziemlich witzlos über einen rechtsseitigen Grenzwert im rechten Randpunkt eines Definitionsintervalls zu sprechen



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