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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Kein surjektiver Morphismus von k^n nach k^m mit n<m
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Universität/Hochschule Kein surjektiver Morphismus von k^n nach k^m mit n<m
Thanatoi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-21 15:58


Hallo,
ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch und so schwer kann es auch eigentlich nicht sein.

Warum gibt es keinen surjektiven Morphismus \(k^n \to k^m\) mit \(n<m\), wobei \(k\) ein Körper ist?

Rein logisch ist mir das klar, aber mir fällt keine gute Möglichkeit ein das zu beweisen.

Danke schon mal im Voraus!



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-21 15:59


Was ist $k$?


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Thanatoi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-21 16:01


2020-05-21 15:59 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Was ist $k$?

Sorry, k ist ein Körper.



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Thanatoi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-21 16:14


Ok, ich bin gerade doch noch etwas weiter gekommen.
Wenn ich beweisen könnte, dass es eine Funktion \(f \in k[X_1,...,X_m] \setminus \{0\}\) gibt mit \(f(u(x))=0 \;\; \forall x \in k^n\), wobei \(u:k^n \to k^m, \, n<m\), dann folgt es direkt daraus.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-21 16:20


Die Aussage folgt aus diversen einfachen Sätzen über Vektorräume, die man im ersten Semester behandelt. Offensichtlich bist du definitiv darüber hinaus, also entgeht mir hier wohl irgendwas.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-21 18:49


Wenn es um affine Varietäten gehen sollte, müsste folgender Beweis funktionieren:

Wir beweisen gleich die allgemeinere Aussage: Sei $\varphi:V \to W$ ein surjektive Morphismus zwischen affinen Varietäten. Dann gilt $\dim{V} \geq \dim{W}$.

Das folgt aus folgender Beobachtung: Sei $X \subseteq W$ eine irreduzible abgeschlossene Menge, dann ist auch $\varphi^{-1}(X)$ eine irreduzible abgeschlossene Menge.
Nach Stetigkeit von $\varphi$ ist $\varphi^{-1}(X)$ abgeschlossen. Falls $\varphi^{-1}(X) = A \cup B$ mit $A,B \subseteq V$ abgeschlossen, so gilt $X = \varphi(A) \cup \varphi(B)$ und insbesondere $X = \overline{\varphi(A)} \cup \overline{\varphi(B)}$. Da $X$ abgeschlossen ist, folgt $\varphi(A) = \emptyset$ oder $\varphi(B) = \emptyset$.

Wenn $0 \subsetneq W_1 \subsetneq W_2 \subsetneq \dots \subsetneq W_k = W$ eine Kette abgeschlossener irreduzibler Mengen ist, so erhalten wir (mit der Surjektivität von $\varphi$) also auch eine Kette gleicher Länge in $V$. Das impliziert $\dim{V} \geq \dim{W}$.

Hmm. Habe ich einen Fehler gemacht? Auf MSE/95670 kann man nur einen relativ komplizierten Beweis finden...


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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-22 11:54


2020-05-21 18:49 - Kezer in Beitrag No. 5 schreibt:
 Da $X$ abgeschlossen ist, folgt $\varphi(A) = \emptyset$ oder $\varphi(B) = \emptyset$.
Hmm. Habe ich einen Fehler gemacht? Auf MSE/95670 kann man nur einen relativ komplizierten Beweis finden...
Es folgt $\overline{\varphi(A)}=X$ oder $\overline{\varphi(B)}=X$ an dieser Stelle aus der Irreduzibilität von $X$, d.h. $\varphi(A)$ oder $\varphi(B)$ liegt dicht in $X$.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-22 13:48


Stimmt, danke, hatte da einen Denkfehler.

Insbesondere kann man leicht Beispiele konstruieren, wo $X$ irreduzibel ist, aber $\varphi^{-1}(X)$ nicht.


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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-22 17:22


Ja, dazu hatte ich mir jetzt spontan folgendes überlegt:

Betrachte $\varphi: k^2\longrightarrow k,\;(x,y)\mapsto x^2-y^2$. Dann ist $\{0\}\subseteq k$ irreduzibel und abgeschlossen. Allerdings ist $\varphi^{-1}(\{0\})=Z(X^2-Y^2)=Z((X+Y)(X-Y))=Z(X-Y)\cup Z(X+Y)$ nicht irreduzibel.

Ist jetzt zwar evtl. etwas offtopic, aber schaden wird es dem TE sicher nicht.

Edit: Typo korrigiert.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-22 17:39


Alternativ kann man eine beliebige reduzible Varietät $V$ wählen und eine beliebige irreduzible Varietät $W$ mit einem beliebigen (surjektiven) Morphismus $\varphi : V \to W$, dann ist $\varphi^{-1}(W) = V$ reduzibel.

P.S.: Ich glaube du hast einen kleinen Typo in deinem $\varphi$ und wolltest $\varphi(x,y) = x^2-y^2$. Hübsches Beispiel.


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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-05-23 07:04


Hallo,

da braucht man schon etwas Dimensionsthorie, wie sie zum Beispiel in Abschnitt 4 von entwickelt wird.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-24 14:12


Noch ein letzter Kommentar von mir in diesem Thread.

Mein Beweis konnte nicht funktionieren, da es nur topologische Argumente verwendet. Die Aussage stimmt aber nicht im rein topologischen Setting (d.h. Sei $\varphi:V \to W$ eine surjektive stetige Abbildung, sodass...).
Gegenbeispiele lassen sich so konstruieren: Geb $V$ die diskrete Topologie und wähle $W$ als Raum mit hinreichend hoher Dimension.
Das ist also die Formalisierung von kurtg's Kommentar.

Der Beweis im verlinkten MSE Thread in Beitrag No. 5 kommt aber relativ elementar aus (benutzt nur elementare Dimensionstheorie).

Dazu passend habe ich auch die duale Frage auf MSE/3688419 gestellt.


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