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Universität/Hochschule Partitionierung Ketten
Elias00
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-21 19:32


Guten Tag.

Sein $n\in \mathbb{N}$ Wir betrachten die partielle Ordnung $([2n], |)$, wobei [2n] die Menge der natürlichen Zahlen $\{1, 2, . . . , 2n\}$ ist. Geben Sie eine Zerlegung der Menge $[2n]$ in $n$ Ketten bezüglich der Teilbarkeitsrelation an. Ist diese Anzahl Minimal?


Hätte Jemand einen Ansatz/Tipp für mich? Leider komme ich auf keinen Ansatz, man könnte zwar über den Satz von Dilworth gehen, aber dieser soll hier vermieden werden, denn die maximale Anzahl an Elementen einer Antikette, sollte aus dieser Aufgabe folgen, deshalb verlangt man bestimmt auch das die Partitionierung minimal sein soll.



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Elias00
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-22 21:42


Guten Tag,
ich habe mir weitere Gedanken gemacht und dachte mir, dass man gerade und ungerade Zahlen betrachten könnte.
Hat man eine ungerade Zahl, dann erzeugen wir eine leere Partitionsmenge, ist die Zahl gerade, dann fügen wir sie zu einer bestehenden Partitionsmenge hinzu, wobei $\frac{x}{2}$ gelten soll.

Sei nun $P$ unsere Menge der Patitionsmengen wofür gilt

$P \bigcup\limits_{i \in 1,2,\dots,n} P_i:= \{2\cdot i-1 \cdot 2^j | j \in \mathbb{N}\}$






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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-22 22:52


Hallo Elias00,

2020-05-22 21:42 - Elias00 in Beitrag No. 1 schreibt:
Guten Tag,
ich habe mir weitere Gedanken gemacht und dachte mir, dass man gerade und ungerade Zahlen betrachten könnte.
Hat man eine ungerade Zahl, dann erzeugen wir eine leere Partitionsmenge, ist die Zahl gerade, dann fügen wir sie zu einer bestehenden Partitionsmenge hinzu, wobei $\frac{x}{2}$ gelten soll.

Sei nun $P$ unsere Menge der Patitionsmengen wofür gilt

$P \bigcup\limits_{i \in 1,2,\dots,n} P_i:= \{2\cdot i-1 \cdot 2^j | j \in \mathbb{N}\}$


ich versteh nicht so ganz, was du meinst. So wie es dasteht, macht es keinen Sinn - kannst du es nochmal ausbessern oder an einem Beispiel vormachen, was du meinst?

Ich denke, die Idee sollte die folgende sein: Angenommen wir haben eine minimale Zerlegung für festes $n$ und suchen eine für $n+1$: $n+1$ ist maximales Element einer Kette, füge $2n+2$ hinzu. Mache eine neue Kette mit $2n+1$ auf.

Für die Minimalität gib einfach $n$ Elemente von $[2n]$ an, sodass je zwei Elemente in verschiedenen Ketten liegen müssen (also eine Antikette der Länge $n$).



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