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Differentiation » Differentialrechnung in IR » e-Funktion, die einen Scheitel aufweisen soll
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Universität/Hochschule e-Funktion, die einen Scheitel aufweisen soll
marathon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-22 16:05


hallo hier wieder eine bescheiden Anfrage ,die den Experten vielleicht verwundern wird . Die Aufgabe lautet
zuerst ein Bild zugegebenermaßen schlechte Qualität



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 Wie immer 1000 Dank für möglichen Support Euer Markus



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-22 16:12


Hallo,

es ist derjenige Punkt gesucht, in dem der zugehörige Krümmungskreis (ein anderes Wort ist Schmiegekreis) den kleinsten Radius hat.

Das ist keine Schulmathematik, ich verschiebe daher die Aufgabe ins Analysis-Forum.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Funktionen und Schaubilder' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]



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marathon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-23 08:48


danke sehr  diese Aufgaben  können dann auch(oder immer)echt  böse werden da kommt man sich dann schnell einsam und verlassen vor --bei der Recherche im Netz bin ich auf folgendes gestoßen bezeichnet dies die Aufgabe?!




und die Krümmung an der Stelle ist damit der Radius gemeint der hier mit
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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-23 10:59


Bei der Anwendung der Quotientenregel sind Dir im ersten Term die inneren Ableitungen durcheinander geraten. Ansonsten bist Du auf dem richtigen Weg.
Da Du die Nullstelle dieser Funktion suchst, kannst Du den Nenner weglassen und im Zähler gemeinsame Faktoren rausziehen. Wenn Du dann noch die konkrete Funktion $e^x$ einsetzt, sollte sich alles soweit vereinfachen, dass Du nach $x$ auflösen kannst.



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marathon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-23 17:20


Also erneuter Versuch der Durchführung...

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wie immer Dank für möglichen Support.. euer markus und als Zusatz das ganze auch in der Parameter-form darstellen  können doch Step by Step



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marathon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-23 23:24


Hallo ich probieree es nochmal nachdem Kitaktus so hilfreiche erste Impulse gegeben hat ebenso wie Diophant  wenn vielleicht einer der Cracks mir weiterhelfen könnte den bei der Ableitung mit Quotienten-Regel  komme ich ja nicht zu der vorgegebenen Lösung .

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Danke für das Aufzeigen meiner Fehlerquellen  Euer Markus




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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-24 02:19


Mir ist nicht immer klar, wonach Du fragst.

Was mir auffällt:
Was ist die Ableitung von $(g'(x))^2$?
Die äußere Funktion ist eine Potenz. Also Exponent als Vor-Faktor, danach die Potenz mit einem um 1 verringerten Exponenten, dann (wie immer bei verketten Funktionen) die innere Ableitung.
Ergebnis: $2\cdot(g'(x)^1)\cdot g''(x) = 2\cdot g'(x)\cdot g''(x)$.

Was Du nicht berücksichtigst:
$g(x)$ ist nicht irgendeine beliebige Funktion, sondern $e^x$. Daher kannst Du für $g'(x), g''(x)$ usw. die Ableitungen von $e^x$ einsetzen und die sind …
Das vereinfacht den Ausdruck erheblich.



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marathon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24 16:42


An Kitaktus

 Es geht ja  nicht !!!darum mit der E Funktion zu arbeiten  wenn man es wirklich !!!! verstehen will sollte man es auch in der allgemeinen Form beherrschen.Oder sich zumindest darum bemühen.Denke ich mal.
 Das danach mit der E- Funktion durchzuführen ist der  viel einfachere Teil -- logischerweise es ist ja das unbekannte was reizt!!
Es könnte ja durchaus ein. das bei einer ähnlichen Aufgabe keine reine
e-Funktion gegeben ist ..
 daher formuliere ich den kern meiner Frage noch einmal...
 an alle und speziell Kitaktus
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marathon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25 07:16


also gut ich probiere es nochmal
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 hier noch ein Beispiel in Bildelementform zu meiner Vermutung


Da wurde auch nicht mit zusätzlicher Kettenregel gearbeitet aber vielleicht ist das von mir falsch beurteilt freue mich aus konstruktive Replik.... MfG Mathe Novize Markus



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-25 12:17


Hallo marathon,

Du beschreibst die Aufgabe mit einer konkreten Funktion $g(x)=e^x$, da kann ich nich erkennen, dass Du nach einer allgemeinen Lösung suchst.
Vielleicht habe ich das überlesen.
Letzten Endes waren ja alle Überlegungen allgemeingültig. Ich wies lediglich darauf hin, dass das Einsetzen der konkreten Funktion den Term erheblich vereinfacht.

Zur Schreibweise: Ja genau, es gilt $g'(x)^2 = (g'(x))^2$. Das Quadrat bezieht sich auf die "ganze Funktion" und die Funktion heißt $g'(x)$.
Man findet natürlich häufig die Schreibweise $g^2(x)$ für $(g(x))^2$, insbesondere bei trigonimetrischen Funktionen, wie $sin^2(x)$. Wenn aber direkt nach dem Funktionsnamen schon das Ableitungssymbol steht, dann sollte man da nicht auch noch das Quadrat einbauen.

Ich hatte gehofft, dass Du die letzten Vereinfachungen selbst findest. Wir suchen nach der Nullstelle von $\frac{1.5(1+g'(x)^2)^{0.5}\cdot g''(x)\cdot 2g'(x)\cdot g''(x)-(1+g'(x)^2)^{1.5}\cdot g'''(x)}{g''(x)^2}$. Den Term können wir faktorisieren:
$\frac{(1+g'(x)^2)^{0.5}}{g''(x)^2}\cdot (1.5\cdot g''(x)\cdot 2g'(x)\cdot g''(x)-(1+g'(x)^2)\cdot g'''(x)) $
$= \frac{(1+g'(x)^2)^{0.5}}{g''(x)^2}\cdot (3\cdot g'(x)\cdot (g''(x))^2-(1+g'(x)^2)\cdot g'''(x))$. Der erste Faktor ist nicht $0$, daher bleibt als entscheidendes Kriterium die Gleichung $0=3\cdot g'(x)\cdot (g''(x))^2-(1+g'(x)^2)\cdot g'''(x)$. Multipliziert man die Gleichung mit $-1$, so erhält man genau das Kriterium (1) aus Deinem roten Kasten.

Wie Du auf die Aussage "Da wurde auch nicht mit zusätzlicher Kettenregel gearbeitet..." kommst, verstehe ich nicht.



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marathon
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Für Kitaktus Danke!!!!!!  sehr!!!für die tolle und sehr ausführliche Replik!!!
Die nächste Frage schließt sich quasi ad hoc an bei den Krümmungskreisen wird oft in der parametrisierten Form gearbeitet . Die hier  gezeigt und besprochenen Form war aber nicht die parametrisierte nach dem ich diesen Brocken  mental verarbeitet habe will ich bis heute Abend eine Frage zur Parametrisierung vorbereiten...

 


mfg Markus



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