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Analysis » Grenzwerte » Landau-Symbole bei Reihen
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Universität/Hochschule Landau-Symbole bei Reihen
Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-23


Hallo,
wir nehmen gerade die Landau-Symbole durch und die formale Definition hab ich soweit verstanden. Anschaulich ist mir deren Bedeutung auch soweit klar, allerdings verwirrt mich immer noch die Schreibweise von den Landau-Symbolen bei Potenzreihen, bspw. diese hier:
$$e^x = 1 + x + \mathcal{O}(x^2)$$ Ich verstehe allerdings nicht was mit dem $\mathcal{O}(x^2)$ ausdrücken möchte? Ich weiß das der nächste Summand quadratisch gewesen wäre, allerdings ist mir nicht klar wie diese Schreibweise zu verstehen ist. Oder allgemein, wie man sich die Schreibweise vorstellen kann, bei der das Landau-Symbol addiert wird.

Danke im Voraus.
Grüße
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{ Js}$



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-23


Normal stellt man sich vor, dass noch ein Restterm dabei ist, der für große $x$ höchstens so schnell wächst wie quadratische Polynome (analog allgemeinere Beispiele).

In deinem Beispiel folgen nur noch Monome der Ordnung $\geq 2$, wachsen also mindestens quadratisch an.

Man sollte aber angeben, dass diese Notation z.B. für $x \to \infty$ gilt (deshalb habe ich von großen $x$ gesprochen). Genauso könnte man z.B. auch $f(x) = g(x) + O(h)$ für $h \to 0$ schreiben und entsprechend das Verhalten für $h \to 0$ beschreiben.

Man benutzt diese Schreibweise, wenn die genaue Form des Restgliedes nicht wichtig ist, sondern nur das Wachstumsverhalten. Beispiel: Taylorentwicklung $n$-ter Ordnung. Sie ist also oft nützlich, um Rechnungen kürzer zu halten.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-23


Huhu h,

ich hatte diesen Beitrag schon mal irgendwo verlinkt. Vielleicht hilft er dir ja auch.

Gute Nacht,

Küstenkind



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-24


Die Schreibweise $f(x)=g(x)+O(h(x))$ bedeutet: $f(x)-g(x)\in O(h(x))$.

In der Darstellung im Themenstart geht es offenbar um das Verhalten der Exponentialfunktion für betragsmäßig _kleine_ $x$, also $x\to 0$.
Für $x\to\infty$ ist das Wachstum der Exponentialfunktion gerade nicht polynomiell beschränkt.
Beitrag #1 führt daher etwas in die Irre.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-24


Oh upps, ja, verschrieben, sorry.


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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Hallo,
sorry für die späte Rückmeldung.

2020-05-23 23:19 - Kuestenkind in Beitrag No. 2 schreibt:
ich hatte diesen Beitrag schon mal irgendwo verlinkt. Vielleicht hilft er dir ja auch.
Danke für den Link, das war sehr hilfreich!

2020-05-24 02:28 - Kitaktus in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Schreibweise $f(x)=g(x)+O(h(x))$ bedeutet: $f(x)-g(x)\in O(h(x))$.

In der Darstellung im Themenstart geht es offenbar um das Verhalten der Exponentialfunktion für betragsmäßig _kleine_ $x$, also $x\to 0$.
Für $x\to\infty$ ist das Wachstum der Exponentialfunktion gerade nicht polynomiell beschränkt.
Beitrag #1 führt daher etwas in die Irre.
Danke, das macht Sinn. Also kann man das ja auch nutzen, um den Fehler den man bei der Approximation macht asymptotisch abzuschätzen, oder?


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{ Js}$



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-31


2020-05-27 20:09 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 5 schreibt:
Also kann man das ja auch nutzen, um den Fehler den man bei der Approximation macht asymptotisch abzuschätzen, oder?
Ja, das ist einer der typischen Anwendungsfälle.
Beispiel: $\cos(x)=1-x^2/2+O(x^4)$.



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