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Analysis » Topologie » Kompaktheit einer Kugel
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Universität/Hochschule J Kompaktheit einer Kugel
jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


ich weiß gerade nicht so genau, wie ich da am besten vorgehen kann... muss man hier mit einer Überdeckung arbeiten, oder geht es auch anders?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-24

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Hallo jaz1905,

kennst du den Satz von Heine-Borel? Eine Menge in einem metrischen Raum ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Edit: Stimmt nicht, Heine-Borel gilt nur für die euklidische Metrik in $\R^n$. Sorry.
\(\endgroup\)


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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


also wir haben den Satz von Bolzano-Weierstraß aufgeschrieben:
Ist A eine kompakte Menge eines beliebigen m.R., dann ist sie abgeschlossen und beschränkt.
Nur wir haben auch gesagt, dass die Umkehrung nicht gilt, also eine abgeschlossene und beschränkt Menge muss nicht kompakt sein.
Und wir haben auch gesagt, dass eine Teilmenge A von den reellen Zahlen mit der euklidischen Metrik genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist - daher weiß ich nicht, ob ich diesen Satz auch an diesen metrischen Raum anwenden kann, da eine andere Metrik vorliegt



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-24


Du hast recht, dass die Umkehrung allgemein nicht in metrischen Räumen gilt. Kennst du aber vielleicht das Resultat über die Äquivalenz von Normen im $\mathbb{R}^n$? Zeige, dass deine Metrik durch eine Norm induziert wird.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-24


Habt ihr vielleicht auch einen Satz, dass Produkte kompakter Mengen kompakt sind? Damit ginge es hier ganz gut.

Viele Grüße

Wally



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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


@Kezer , wir haben leider nichts über das Resultat über die Äquivalenz von Normen gelernt

@wally, das haben wir im Bezug auf das kartesische Produkt gehabt. Also iich sollte zeigen, dass die Kugel in R kompakt ist? Dafür muss ich zeigen, dass jede beliebige Folge in der abgeschlossenen Kugel, bzw im Intervall [-1; 1] gegen eine Zahl in diesem Intervall konvergiert, oder? Oder ist das nicht die Definition von Abgeschlossenheit, dass jede Folge gegen eine Zahl im Intervall konvergiert?



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Vielleicht kannst du die Kugel ja geeignet darstellen. Mach mal für \( d=2\) eine Skizze.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Die Kugel bei dieser Metrik ist doch quadratisch, oder? Also ein Würfel?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-24


So isses.

Viele Grüße

Wally



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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


kann man das auch so beantworten?

die abgeschlossene Kugel in R wäre ja das Intervall [-1, 1]. Aus der VL nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß weiß ich, dass das abgeschlossene Intervall eine kompakte Teilmenge von R ist - ich bin mir nicht sicher, aber das Intervall ist unabhängig von der Metrik eine kompakte Teilmenge von R, oder?

wenn ja, die abgeschlossene Kugel für R^d wäre ja dann das kartesische Produkt des Intervalls. Nach dem Satz aus meiner VL weiß ich, dass das kartesische Produkt wieder kompakt ist. Also habe ich das somit gezeigt, dass die gegebene abgeschlossene Kugel auch in dem gegebenen metrischen Raum kompakt ist.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ja, genau das meinte ich.

Da auf \( \IR^n\) alle Normen äquivalent sind, sind alle Kompaktheitsbegriffe, die durch diese Normen erzeugt werden, gleich.

Es geht also so.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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HellsKitchen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-25


Hallo,

\(d_e\) bezeichne die euklidische Metrik und d die Dimension.
Man hat dann folgende Ungleichungen:

\(d_\infty(x,y) \leq d_e(x,y) \leq \sqrt{d} \cdot d_\infty(x,y)\)

Man sieht sofort:
beide Metriken erzeugen die gleiche Topologie.
Die kompakten Mengen - ein topologischer Begriff - stimmen überein.

Übrigens:
die beschränkten Mengen - ein metrischer Begriff - sind auch die gleichen.
Der Satz von Heine-Borel gilt deshalb auch für \(d_\infty(x,y)\).

Gruß HellsKitchen



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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-26


okay vielen Dank :)



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