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Analysis » Funktionalanalysis » Umkehrung des Riesz'schen Darstellungssatzes
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Universität/Hochschule Umkehrung des Riesz'schen Darstellungssatzes
Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Hallo allerseits, ich hätte eine Frage:

Lässt sich der Darstellungssatz von Riesz-Fréchet ("Jeder Hilbertraum ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum") umkehren?

Also, gilt eine Aussage der Art "Wenn ein Banachraum isometrisch isomorph zu seinem Dualraum ist, so ist er isomorph zu einem Hilbertraum"?

Ich kann mir vorstellen, dass man für den Beweis vielleicht Hahn-Banach benutzen kann, indem man einem Element x gerade das x* zuweist, sodass x*(x) = |x| gilt und als Skalarprodukt sowas definiert wie (x|y) = y*(x) oder so.

Falls es ein Gegenbeispiel gibt, wäre ich daran natürlich auch interessiert ^^.

vielen Dank schonmal im Voraus,
Martin



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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Also, ich habe jetzt schon von meinem Übungsleiter bestätigt bekommen, dass die Aussage stimmt, aber einen Beweis konnte er mir bisher auch nicht geben.

Ich bin immernoch offen für Antworten ^^



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Antwort kenne ich nicht. Aber:

Man könnte ja versuchen, das zu beweisen, indem man mit deiner Abbildung \( x\to x^\ast\) ein Skalarprodukt definiert. Vielleicht am Besten durch Polarisation (der reelle Fall soll mal erst reichen):

\( \D \langle  x,y\rangle:= \frac{1}{4}((x+y)^\ast(x+y)-(x-y)^\ast(x-y))\)

Vielleicht kommt man damit weiter.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-29


Ich finde es immer wieder großartig, wie selbstsicher einige Übungsgruppenleiter behaupten, eine Aussage, die sie nicht beweisen können, sei richtig...

Die Vermutung ist falsch, Gegenbeispiele gibt es hier:





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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 15:32


Danke für die Antworten,

inzwischen hat mein Übungsleiter auch selbst gemeint, dass er die Sache zu oberflächlich betrachtet hat und dass die Aussage i.A. falsch ist. Dafür hat er mich auf dieses Paper hier verwiesen. Was da drinnen steht, ist aber im Prinzip auch schon fast, was man sich heuristisch denken könnte.

Schönen Sonntag noch an alle,
Martin



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Nuke_Gunray hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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