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Universität/Hochschule J Bestimmtes Integral
rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Hallo,

kann man die Funktion x / quadratwurzel(- x^2 + (a + b) * x - a * b)) geschlossen von a bis b integrieren und was würde da ggfs herauskommen?

Gruß,

Ralf



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

meinst du folgendes Integral:

\[\int_a^b{\frac{x}{\sqrt{-x^2+(a+b)x-ab}} \on{dx}}\]
?

Das ist zwar ein uneigentliches Integral. Es geht aber geschlossen zu integrieren und es sollte existieren. Da muss man zunächst den Wurzelinhalt geeignet umformen (Stichwort: quadratische Ergänzung).

Danach würde ich es mit einer partiellen Integration versuchen.

Schau dir dazu vielleicht einmal die Ableitung der Arkussinusfunktion genauer an...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Integration' in Forum 'Integration' von Diophant]
\(\endgroup\)


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rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Hallo Diophant,

Genau das Integral meine ich. Danke für Deinen Tipp. Das probiere ich auf jeden Fall aus. Ein Kontrollergebnis wäre nicht schlecht. Ich melde mich, wenn ich was raus habe :)

Gruß Ralf



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

kleine Starthilfe:

\[\ba
-x^2+(a+b)x-ab&=-(x^2-(a+b)x)-ab\\
\\
&=-\left(x^2-(a+b)x+\frac{(a+b)^2}{4}-\frac{(a+b)^2}{4}\right)-ab\\
\\
&=-\left(x^2-(a+b)x+\frac{(a+b)^2}{4}\right)+\frac{(a+b)^2}{4}-ab\\
\\
&=-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a+b)^2}{4}-ab\\
\\
&=\frac{(a-b)^2}{4}-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2
\ea\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Ich erhalte den (endlichen) Integralwert - (a + b) * pi / 2, wobei ich von a > b > 0 ausgegangen bin. Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-24


Hallo,

das ist IMO fast richtig. Nach meiner Rechnung ist einzig das führende Minuszeichen falsch.

Könntest du das nochmal überprüfen?


Gruß, Diophant



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rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Danke für die Starthilfe. Die quadratische Ergänzung habe ich hinbekommen. Dann habe ich ((a - b) / 2)^2 ausgeklammert und

y = (2x - a - b) / (a - b)

gesetzt und das unbestimmte Integral arcsin(y) erhalten, wobei

-1 = y(b) < y < y(a) = 1 ist. Auf die Idee mit der partiellen Integration bin ich nicht gekommen, weil ich den arcsin nicht integrieren wollte. An dieser Stelle habe ich in Wikipedia nachgeschaut und das Integral durchrechnen können. Vielen Dank für diesen Tipp. Wenn der Wert jetzt noch stimmt, bin ich sehr glücklich :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

wie gesagt: das Ergebnis sollte für \(0<a<b\) positiv sein. Sonst passt alles. 🙂


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


ist die Wurzel aus der quadratischen Ergänzung noch

wurzel(1 - y^2) * (a - b) / 2 ?

Dabei habe ich betrag(a - b) = a - b verwendet (a > b). Die x-Grenzen gehen von a bis b, also gehen die y-Grenzen von y(a)=1 bis y(b)=-1. Ist das soweit noch korrekt?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Dann liegt der Unterschied in der Betragsbildung (Wurzelziehen), da ich von a > b ausgehe. Das war wirklich sehr hilfreich für mich. Vielen lieben Dank!

Ralf



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

falls du die Ursache noch klären möchtest, solltest du deine komplette Rechnung posten.

Das Resultat von \(\frac{a+b}{2}\pi\) kann ich jedenfalls hiermit nochmals bestätigen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rschw71
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Hallo Diophant,

ich bin noch zu ungeübt, meine schriftliche Ausführung in eine elektronische Form zu gießen. Das werde ich aber Lernen. Würdest Du für

a > b

nicht auch ein Minuszeichen erhalten? Ich schaue mir das heute Nachmittag definitiv noch einmal an.

Viele Grüße,

Ralf



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ich ging jetzt grundsätzlich von \(a<b\) aus, wie im Themenstart gefordert. Wenn man bei einem bestimmten Integral die Grenzen vertauscht, dann wechselt natürlich auch das Vorzeichen. Insofern meinen wir dann wohl doch beide das gleiche.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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rschw71
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Danke für Deine Hilfe :)



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