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Strukturen und Algebra » Polynome » Algebraische Unabhängigkeit und Irreduzibilität?
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Universität/Hochschule Algebraische Unabhängigkeit und Irreduzibilität?
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-25


Hallo,

seien
$P\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$,
$a$ eine algebraische Variable,
$z$ eine transzendente Variable.

Die Menge $\{a,z\}$ ist algebraisch abhängig. Wir betrachten die Gleichung $P(a,z)=0$.

Sind meine folgenden Vermutungen richtig?

1.) Wenn $P(a,z)$ einen Faktor $P_1(a)$, mit $P_1\in\overline{\mathbb{Q}}[x]\setminus\overline{\mathbb{Q}}$, enthält, dann ist $P(a,z)=P_1(a)\cdot P_2(a,z)$, mit $P_2\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus \overline{\mathbb{Q}}[y]$.
Wie kann man das zeigen?

2.) Die Gleichung hat genau dann Lösungen, wenn $P(a,z)$ keinen Faktor $P_1(a)$, mit $P_1\in\overline{\mathbb{Q}}[x]\setminus\overline{\mathbb{Q}}$, enthält.

Vielen vielen Dank.



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