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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Vektorraum-Isomorphismus Beispiel
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Universität/Hochschule J Vektorraum-Isomorphismus Beispiel
Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-25


Hallo,
folgende Def.:



Kann mir jemand ein Beispiel für einen Isomorphimus geben, mit \(V\neq W\)?
Danke und lg



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-25

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Hallo Lookingglassk_

nimm $V:=\{(r,0)~\vert~r\in\R\}\subset\R^2$, und $W:=\{(0,r)~\vert~r\in\R\}\subset\R^2$ und den Isomorphismus $\varphi:V\to W,~\varphi((r,0))=(0,r)$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-25


Guten Abend

Ich weiss nicht ob dir dieses Beispiel schon reicht aber betrachte doch mal folgendes: Sei $V$ die folgende Menge $V=\{c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta \,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in {\mathbb  {R}}\}$. Betrachte nun die folgende Abbildung:
\[\phi: V \to \Bbb R^2, \; \; \; \phi(c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta) = {\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}\] Man kann ziemlich einfach nachrechnen, dass $\phi$ bijektiv und ein Homomorphismus ist.

Ich hoffe dieses Beispiel hilft dir weiter.
Viele Grüsse
Math_user

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-25


Hi Lookingglassk_,
betrachte den Raum V=R³ der 3-dimensionalen Spaltenvektoren und den Raum W der reellen Polynome vom Grad ≤ 2.
Gruß Buri



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Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Vielen Dank für die Antworten,
hätte vllt. noch jemand ein Beispiel für einen nicht surjektiven Endomorphismus?
Danke und lg



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-25


2020-05-25 19:47 - Lookingglassk_ in Beitrag No. 4 schreibt:
hätte vllt. noch jemand ein Beispiel für einen nicht surjektiven Endomorphismus?
$\IR\to\IR$, $x\mapsto 0$.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Danke für die Antwort,
allerdings meinte ich, nicht surjektiv aber injektiv(mein Fehler).
Danke lg



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-25

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Dafür gibt es keine endlichdimensionalen Beispiele.

Unendlichdimensionale aber schon:
Z.B. im Vektorraum $\IR[x]$ aller Polynome in $x$ ist die lineare Abbildung $f(x)\mapsto xf(x)$ injektiv aber nicht surjektiv.
\(\endgroup\)


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Lookingglassk_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Danke, dachte ich mir schon konnte mir aber kein konkretes Beispiel vorstellen.



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